Courbes paramétrées
Exercice résolu
ASTROÏDE
On considèrelacourbe Γ définie paramétriquement par :
x(t) = cos
3
t
y(t) = sin
3
t
1 Étudier et tracer Γ.
2 Pourtout point M(t) de Γ nonsitué sur l’un des axes de coordonnées, on considère P(t) et Q(t), points d’intersection
de la tangente à Γ en M (t) avec Ox et Oy respectivement.
Montrerque
−− −−−→
P ( t ) Q ( t ) est uneconstante que l’on déterminera.
Conseils
Solution
1)
−− −−→
OM (t) =
− →
f ( t ) = cos
3
t i +sin
3
t j estdéfini pour tout t ∈ R,
de plus M (t +2π) = M(t), la courbe est fermée et entièrement décrite
quand t varie dansunintervalle d’amplitude 2π.
La périodeetles symétries permettent de
ramener l’intervalled’étude à
0,
π
4
!
Recherchons d’éventuelles symétries permettant de limiter le domaine
d’étude :
•
−− −−−→
OM (−t) = x(t) i − y(t) j, lesp oints M (t)e tM ( − t )s ont donc
symétriques par rapportàl’axe Ox, l’étude de la courbe se fera pour
t ∈ [0, π], et l’oncomplètera par cette symétrie ;
•
−− −−−−−→
OM (π − t) = −x(t) i + y(t) j, lespoints M (t)e tM ( π − t )s ont donc
symétriquesp ar rapport àl ’axe Oy, l’étude de la courbe se fera pour
t ∈ [0,
π
2
], et l’oncomplètera par cette symétrie ;
•
−− −−−−−→
OM (
π
2
− t) = y(t) i + x(t) j, lespoints M (t)e tM (
π
2
− t )s ont donc
symétriquesp ar rapport àl ad roite d’équation y = x, l’étuded el a
courbe se fera pour t ∈ [0,
π
4
], et l’oncomplètera parcette symétrie.
−1
−1/2
0
A
1/2
1
−1
−1/21 / 2
1
4
4
Doc. 10
− →
f
( t ) = − 3sin t cos
2
t i +3cos t sin
2
t j, d’oùletableau de variation pour
t ∈ [0,
π
4
]:
t
0
π
4
x
( t ) 0 −
x ( t ) 1
√ 2
4
y
( t ) 0 −
y
0
√ 2
4
Le point M (0) eststationnaire ;l im
t→0
y(t) − y(0)
x(t) − x(0)
= 0. Ce point présente
donc une tangente horizontale, la symétrie par rapport à Ox permet de
reconnaître un pointderebroussement de première espèce (Doc. 9).
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