COURS 5
Courbes paramétrées
2.2 • Variations de x(t)e ty ( t )
Il convient ensuite d’étudier les variations des deux fonctions numériques t
→ x(t)
et t → y(t)( supposées dérivables) et de dresser un tableau de variation commun
avec des lignes successivespour :
• les valeurs remarquables de t ;
• le signede x
(t);
• le sens de variation de x(t)e tses limites ;
• le sensdevariation de y(t)e tses limites ;
• le signede y
(t);
• éventuellement les valeurs de
y
(t)
x (t)
, qui représente le coefficient directeur de
la tangente àlacourbe.
2.3 • Branches infinies
La courbe présente une branchei nfinie en t 0 ∈ R, ou lorsque t tend vers
t 0 = ±∞, si lim
t→t0
−−→
OM (t) = +∞, c’est-à-dire si l’uneaumoins des coordonnées
tend vers ±∞ quand t tend vers t 0 .
Si x →±∞ et y → y 0 , il yaune asymptote horizontale d’équation y = y 0 .
Si y →±∞ et x → x 0 , il yaune asymptote verticale d’équation x = x 0 .
Si x et y tendent vers l’infini et si le quotient
y(t)
x(t)
tend vers une limite a,
finie ou infinie, on dit que la droite vectorielle d’équation y = ax (axe Oy si
a = ±∞)e st une direction asymptotique.
Danscecas, si a
= 0e tsiladifférence y(t) − ax(t)t end vers une limite finie b,
on dit que la droite d’équation y = ax + b est une asymptote.Sicette différence
tend vers ±∞, la courbe présente une branche parabolique de direction y = ax.
2.4 • Exemple d’étude d’une courbe paramétrée
Soit la courbe paramétréedéfinie par :
x(t) =
1
1 − t 2
y(t) =
t
3
1 − t 2
La courbe est définie sur R\{−1, 1}.
∀t ∈ R\{−1, 1} x(−t) = x(t) y(−t) = −y(t):la courbe est symétrique par
rapportà Ox ;i lsuffit de l’étudier sur R + \{1}.
Les fonctions t → x(t)e tt → y(t)s ont dérivables et :
x
(t) =
2t
(1 − t 2 ) 2
y
(t) =
t
2
(3 − t
2
)
(1 − t 2 ) 2
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