Courbes paramétrées
COURS
5
La droite passantpar M (t 0 ), dirigéepar
−− −→
f
( t 0 )e st la position limite de la sécante
M (t 0 )M (t)
quand t → t 0 , elle esta ppelée tangente àl ac ourbe au point
M (t 0 ).
Pour s’entraîner:ex. 2, 3
1.4 • Point stationnaire
ST STOP OP
Doc. 2 Le panneauSTOP du code de
la routeimpose un point stationnaire àla
marche de tout véhicule.
Un point non régulier, c’est-à-dire en lequel
− →
f
( t 0 ) = 0( le vecteur vitesse
s’annule),est dit stationnaire.C’est un point d’arrêt sur la trajectoire.
En un point stationnaire, la courbe peut ou non posséder une tangente. On
cherchera si le quotient
y(t) − y(t 0 )
x(t) − x(t 0 )
admetu ne limite quand t tend vers t 0 ;
si cette limite existe,c es era le coefficient directeur de la tangente àl acourbe au
point M (t 0 ).
2 Étude générale d’unecourbe
paramétrée
2.1 • Intervalled’étude
Soit àétudier la courbe paramétrée du plan définie par les fonctions t
→ x(t)e t
t → y(t). On cherched’abord l’ensemble de définition D f , qui est l’intersection
des ensembles de définition de x(t)e ty ( t ) .
S’il existe une période commune T ∈ R
∗
+ telleque pour tout t ∈ D f :
t − T ∈ D f , t + T ∈ D f , x(t + T ) = x(t)e ty ( t + T ) = y ( t )
la courbe est entièrement décrite sur un intervalle d’amplitude T .
Il se peut également qu’un changement de paramètre t
→ ϕ(t)i nduise une
transformation géométrique simple. Par exemple :
•
x(ϕ(t)) = x(t)
y(ϕ(t)) = −y(t)
:symétrie par rapport àl’axe Ox.
•
x(ϕ(t)) = −x(t)
y(ϕ(t)) = y(t)
:symétrie par rapport àl’axe Oy.
•
x(ϕ(t)) = −x(t)
y(ϕ(t)) = −y(t)
:symétrie par rapport àl’origine.
•
x(ϕ(t)) = y(t)
y(ϕ(t)) = x(t)
:symétrie par rapport àlapremière bissectrice.
•
x(ϕ(t)) = x(t)+α
y(ϕ(t)) = y(t)+β
:translation de vecteur (α, β).
Dans ce cas on peut restreindre l’étudeàun intervalle I qui complété parl’application ϕ redonnera l’ensemble de définition entier : I ∪ ϕ(I ) = D f .
Par exemple, si ϕ(t) = −t, il suffit d’étudier la courbe sur R + ∩ D f .
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
95
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La droite passantpar M (t 0 ), dirigéepar
−− −→
f
( t 0 )e st la position limite de la sécante
M (t 0 )M (t)
quand t → t 0 , elle esta ppelée tangente àl ac ourbe au point
M (t 0 ).
Pour s’entraîner:ex. 2, 3
1.4 • Point stationnaire
ST STOP OP
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la routeimpose un point stationnaire àla
marche de tout véhicule.
Un point non régulier, c’est-à-dire en lequel
− →
f
( t 0 ) = 0( le vecteur vitesse
s’annule),est dit stationnaire.C’est un point d’arrêt sur la trajectoire.
En un point stationnaire, la courbe peut ou non posséder une tangente. On
cherchera si le quotient
y(t) − y(t 0 )
x(t) − x(t 0 )
admetu ne limite quand t tend vers t 0 ;
si cette limite existe,c es era le coefficient directeur de la tangente àl acourbe au
point M (t 0 ).
2 Étude générale d’unecourbe
paramétrée
2.1 • Intervalled’étude
Soit àétudier la courbe paramétrée du plan définie par les fonctions t
→ x(t)e t
t → y(t). On cherched’abord l’ensemble de définition D f , qui est l’intersection
des ensembles de définition de x(t)e ty ( t ) .
S’il existe une période commune T ∈ R
∗
+ telleque pour tout t ∈ D f :
t − T ∈ D f , t + T ∈ D f , x(t + T ) = x(t)e ty ( t + T ) = y ( t )
la courbe est entièrement décrite sur un intervalle d’amplitude T .
Il se peut également qu’un changement de paramètre t
→ ϕ(t)i nduise une
transformation géométrique simple. Par exemple :
•
x(ϕ(t)) = x(t)
y(ϕ(t)) = −y(t)
:symétrie par rapport àl’axe Ox.
•
x(ϕ(t)) = −x(t)
y(ϕ(t)) = y(t)
:symétrie par rapport àl’axe Oy.
•
x(ϕ(t)) = −x(t)
y(ϕ(t)) = −y(t)
:symétrie par rapport àl’origine.
•
x(ϕ(t)) = y(t)
y(ϕ(t)) = x(t)
:symétrie par rapport àlapremière bissectrice.
•
x(ϕ(t)) = x(t)+α
y(ϕ(t)) = y(t)+β
:translation de vecteur (α, β).
Dans ce cas on peut restreindre l’étudeàun intervalle I qui complété parl’application ϕ redonnera l’ensemble de définition entier : I ∪ ϕ(I ) = D f .
Par exemple, si ϕ(t) = −t, il suffit d’étudier la courbe sur R + ∩ D f .
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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