COURS 5
Courbes paramétrées
Si f est deux fois dérivable,
− →
f
(t 0 )e st appelé vecteuraccélération àl’instant t 0 .
• On dit que
− →
f est de classe C
k
si ellee st k fois dérivablee ts is ad érivée
k -ième estcontinue.
− →
f est de classe C
k
sur I si et seulement si ses fonctions
coordonnées le sont.
Dans la pratique, on étudiera le plussouvent des courbes paramétrées de classe
C
k
avec k 1.
On peut étendre aux fonctions vectorielles dérivables les opérations sur les dérivées ;
en particulier :
Théorème 1
Si
− →
f et − → g sont deux fonctions vectorielles dérivables sur un intervalle I :
1)
− →
f · − → g
=
− →
f
· − → g +
− →
f · − → g
2)
Si
− →
f = 0:
− →
f
=
− →
f
·
− →
f
− →
f
3)
Det(
− →
f , − → g )
= Det(
− →
f
, − → g )+Det(
− →
f , − → g
)
Démonstration
Choisissons un repère orthonormal direct et désignons par (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )l es
fonctions coordonnées respectives des fonctions
− →
f , − → g .
1)
− →
f · − → g = x 1 x 2 + y 1 y 2 ;d ’où :
(
− →
f · − → g )
= x
1 x 2 + x 1 x
2 + y
1 y 2 + y 1 y
2 =
− →
f
· − → g +
− →
f · − → g
2)
− →
f =
− →
f ·
− →
f , d’où :
− →
f
=
2
− →
f
·
− →
f
2
− →
f ·
− →
f
=
− →
f
·
− →
f
− →
f
3) Det(
− →
f , − → g ) = x 1 y 2 − x 2 y 1 ;d ’où :
Det(
− →
f , − → g )
= x
1 y 2 + x 1 y
2 − x
2 y 1 − x 2 y
1 = Det(
− →
f
, − → g )+Det(
− →
f , − → g
)
1 . 3 • Point régulier –Tangente
Soit
−−→
OM (t) =
− →
f ( t )u ne courbe paramétrée de classe C
1
.
Le point M (t 0 )e st dit régulier si
− →
f
( t 0 ) = 0 , c’est-à-dire si le vecteur vitesse ne
s’annule pas en t 0 .
La courbe paramétrée est dite régulière si tous ses pointss ont réguliers. On
rencontrera le plus souvent des courbes paramétrées régulièresp ar arcs,c ’est-àdire régulières sur une réunionfinie d’intervalles.
Soit M (t 0 )u npoint régulier et M (t)u npoint de la courbe paramétrée, distinct
de M (t 0 ). La sécante
M (t 0 )M (t)
est dirigée par tout vecteur non nul colinéaire
à
−−−−−−→
M ( t 0 ) M ( t ) , en particulier
1
t − t 0
−−−−−−→
M ( t 0 ) M ( t )q ui apour limite le vecteur non
nul
−− −→
f
( t 0 ) .
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Courbes paramétrées
Si f est deux fois dérivable,
− →
f
(t 0 )e st appelé vecteuraccélération àl’instant t 0 .
• On dit que
− →
f est de classe C
k
si ellee st k fois dérivablee ts is ad érivée
k -ième estcontinue.
− →
f est de classe C
k
sur I si et seulement si ses fonctions
coordonnées le sont.
Dans la pratique, on étudiera le plussouvent des courbes paramétrées de classe
C
k
avec k 1.
On peut étendre aux fonctions vectorielles dérivables les opérations sur les dérivées ;
en particulier :
Théorème 1
Si
− →
f et − → g sont deux fonctions vectorielles dérivables sur un intervalle I :
1)
− →
f · − → g
=
− →
f
· − → g +
− →
f · − → g
2)
Si
− →
f = 0:
− →
f
=
− →
f
·
− →
f
− →
f
3)
Det(
− →
f , − → g )
= Det(
− →
f
, − → g )+Det(
− →
f , − → g
)
Démonstration
Choisissons un repère orthonormal direct et désignons par (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )l es
fonctions coordonnées respectives des fonctions
− →
f , − → g .
1)
− →
f · − → g = x 1 x 2 + y 1 y 2 ;d ’où :
(
− →
f · − → g )
= x
1 x 2 + x 1 x
2 + y
1 y 2 + y 1 y
2 =
− →
f
· − → g +
− →
f · − → g
2)
− →
f =
− →
f ·
− →
f , d’où :
− →
f
=
2
− →
f
·
− →
f
2
− →
f ·
− →
f
=
− →
f
·
− →
f
− →
f
3) Det(
− →
f , − → g ) = x 1 y 2 − x 2 y 1 ;d ’où :
Det(
− →
f , − → g )
= x
1 y 2 + x 1 y
2 − x
2 y 1 − x 2 y
1 = Det(
− →
f
, − → g )+Det(
− →
f , − → g
)
1 . 3 • Point régulier –Tangente
Soit
−−→
OM (t) =
− →
f ( t )u ne courbe paramétrée de classe C
1
.
Le point M (t 0 )e st dit régulier si
− →
f
( t 0 ) = 0 , c’est-à-dire si le vecteur vitesse ne
s’annule pas en t 0 .
La courbe paramétrée est dite régulière si tous ses pointss ont réguliers. On
rencontrera le plus souvent des courbes paramétrées régulièresp ar arcs,c ’est-àdire régulières sur une réunionfinie d’intervalles.
Soit M (t 0 )u npoint régulier et M (t)u npoint de la courbe paramétrée, distinct
de M (t 0 ). La sécante
M (t 0 )M (t)
est dirigée par tout vecteur non nul colinéaire
à
−−−−−−→
M ( t 0 ) M ( t ) , en particulier
1
t − t 0
−−−−−−→
M ( t 0 ) M ( t )q ui apour limite le vecteur non
nul
−− −→
f
( t 0 ) .
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