Courbes paramétrées
COURS
5
1 Courbes planes paramétrées
1.1 • Définition
✻
✲ x
y
M (t)
Doc. 1 Courbe paramétrée.
On appelle courbe paramétrée du plan P unef onction de R dans
P : t
→ M (t)( Doc. 1).
Si le plan est rapporté àu nr epère (O,, i, j), la donnée d’une courbe paramétrée
revient àladonnée d’une fonction vectorielle
− →
f , telle que
− →
f ( t ) =
−−→
OM (t)o ude
deux fonctions numériques t
→ x(t)e tt → y(t)r eprésentant les coordonnées
de M (t).
En interprétant le paramètre réel t comme le temps, une courbe paramétrée
représente le mouvement d’un point dans le plan.
L’ensemble des points du plan atteintsp ar le mouvement estappelé support ou
trajectoire.
C = {M ∈ P , ∃t ∈ R M = M (t)}
Pour tracer une courbe paramétrée avec votre TI92/Voyage
200, passer en MODE Graph PARAMETRIC.
Il faut bien comprendre qu’unecourbe paramétrée ne se résume
pas àson support. Un mêmesupport peut être décrit par divers
paramétrages.Une courbe paramétrée n’est pas une courbe... ,
mais un mouvement sur une courbe.
Par ailleurs,s il ’on n’impose rien àl af onction
− →
f , le support
n’apas nécessairement l’allure que l’on attend d’une «courbe ».
Il existe par exemple une courbe paramétrée (appelée courbe de
Péano)dont le support est l’intérieur d’un carré !
1.2 • Dérivabilité
Par définition, la fonction vectorielle
− →
f tend vers le vecteur
− →
si
− →
f −
− →
tend vers 0;cela équivaut au fait que les fonctions coordonnées de
− →
f tendent vers les coordonnées de
− →
.
Nous en déduisons :
• Une fonction vectorielle
− →
f est continue au point t = t 0 si et seulementsi
ses fonctions coordonnées le sont ;
• Une fonction vectorielle
− →
f est dérivable au point t = t 0 si le quotient
− →
f ( t ) −
− →
f ( t 0 )
t − t 0
, défini pour t
= t 0 , admet une limite
− →
quand t → t 0 ;
cettevaleur est appelée dérivée de
− →
f en t 0 , notée
− →
f
( t 0 ) .
Dans l’interprétation cinématique,
− →
f ( t ) −
− →
f ( t 0 )
t − t 0
représente le vecteur vitesse
moyennedumobile entre les instants t 0 et t. La limite
− →
f
( t 0 ) , si elle existe,
est appelée vecteur vitesse àl’instant t 0 .
D’aprèscequi précède,
− →
f est dérivable au point t = t 0 si et seulementsises
fonctions coordonnées le sontet
− →
f
( t 0 )apour cordonnées x
(t 0 )e ty
( t 0 );
• Plus généralement,
− →
f est k fois dérivablesur I si et seulementsises fonctions
coordonnées le sont.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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1.1 • Définition
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✲ x
y
M (t)
Doc. 1 Courbe paramétrée.
On appelle courbe paramétrée du plan P unef onction de R dans
P : t
→ M (t)( Doc. 1).
Si le plan est rapporté àu nr epère (O,, i, j), la donnée d’une courbe paramétrée
revient àladonnée d’une fonction vectorielle
− →
f , telle que
− →
f ( t ) =
−−→
OM (t)o ude
deux fonctions numériques t
→ x(t)e tt → y(t)r eprésentant les coordonnées
de M (t).
En interprétant le paramètre réel t comme le temps, une courbe paramétrée
représente le mouvement d’un point dans le plan.
L’ensemble des points du plan atteintsp ar le mouvement estappelé support ou
trajectoire.
C = {M ∈ P , ∃t ∈ R M = M (t)}
Pour tracer une courbe paramétrée avec votre TI92/Voyage
200, passer en MODE Graph PARAMETRIC.
Il faut bien comprendre qu’unecourbe paramétrée ne se résume
pas àson support. Un mêmesupport peut être décrit par divers
paramétrages.Une courbe paramétrée n’est pas une courbe... ,
mais un mouvement sur une courbe.
Par ailleurs,s il ’on n’impose rien àl af onction
− →
f , le support
n’apas nécessairement l’allure que l’on attend d’une «courbe ».
Il existe par exemple une courbe paramétrée (appelée courbe de
Péano)dont le support est l’intérieur d’un carré !
1.2 • Dérivabilité
Par définition, la fonction vectorielle
− →
f tend vers le vecteur
− →
si
− →
f −
− →
tend vers 0;cela équivaut au fait que les fonctions coordonnées de
− →
f tendent vers les coordonnées de
− →
.
Nous en déduisons :
• Une fonction vectorielle
− →
f est continue au point t = t 0 si et seulementsi
ses fonctions coordonnées le sont ;
• Une fonction vectorielle
− →
f est dérivable au point t = t 0 si le quotient
− →
f ( t ) −
− →
f ( t 0 )
t − t 0
, défini pour t
= t 0 , admet une limite
− →
quand t → t 0 ;
cettevaleur est appelée dérivée de
− →
f en t 0 , notée
− →
f
( t 0 ) .
Dans l’interprétation cinématique,
− →
f ( t ) −
− →
f ( t 0 )
t − t 0
représente le vecteur vitesse
moyennedumobile entre les instants t 0 et t. La limite
− →
f
( t 0 ) , si elle existe,
est appelée vecteur vitesse àl’instant t 0 .
D’aprèscequi précède,
− →
f est dérivable au point t = t 0 si et seulementsises
fonctions coordonnées le sontet
− →
f
( t 0 )apour cordonnées x
(t 0 )e ty
( t 0 );
• Plus généralement,
− →
f est k fois dérivablesur I si et seulementsises fonctions
coordonnées le sont.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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