Exercices
1 Vraioufaux ?
a. Pourtoute base orthonormale ( i, j), il existe une orientation du planpour laquelle cette base est directe.
b. Si (r, θ)e st un couple de coordonnées polaires d’un
point M , r = OM .
c. L’équation polaire r = sin θ représente une droite.
d. Le déterminant de deux vecteurs est nul si et seulement
si ils sont colinéaires.
e. Le système x = 2 − t; y = 1+t est la représentation
paramétrique d’une droite.
f. Toute droite du plan possède une équation de la forme
y = ax + b.
g. La tangente en O au cercle d’équation
x
2
+ y
2
− 4x +2y=0apour équation −2x + y = 0.
Géométrie du triangle
2 Soit A, B, C , trois points non alignésd up lan
E et troisp oints A
∈ (BC ), B
∈ (CA), C
∈ (AB),
distincts de A, B, C .
1) Démontrerque A
, B
et C
sont alignés si et seulement si :
A B
A C
B C
B A
C A
C B
= 1( théorème de Ménélaüs)
2) Trouveru ne condition analogue pour que les droites
(AA
), (BB
)e t( CC
)s oient concourantes (théorème
de Ceva).
3 ABC étant un triangle équilatéral, déterminer l’ensemble des points M du plan tels que MA
2
+ MB
2
= MC
2
.
4 ABC étant un triangle quelconque, on pose a =
BC , b = CA, c = AB. Déterminer la natured el ’ensemble E des points M du plan tels que :
a cos AMA
2
+bcos BM B
2
+ccos CM C
2
=abc
Montrer que les trois sommets du triangle appartiennent
àc et ensemble. En déduire le barycentre du système
(A, a cos A), (B, b cos B), (C , c cos C ).
5 ABC étant un triangle quelconque et α, β, γ trois
réels strictement positifs, soit G le barycentre du système
(A, α), (B, β), (C , γ).
1) Montrerque les aires des triangles GBC , GCA et GAB
sont proportionnelles à α, β et γ.
2) Trouver (α, β, γ)p our que G soit le centre du cercle
inscritdans le triangle ABC .
3) Même question pour le centre du cercle circonscrit à
ABC .
Droites du plan
6 Le plan est rapporté àu nr epère orthonormé. On
donne un triangle par les équations de ses côtés :
⎧
⎨
⎩
x cos α 1 + y sin α 1 = p 1
x cos α 2 + y sin α 2 = p 2
x cos α 3 + y sin α 3 = p 3
Écrire les équations des trois hauteurs du triangle et vérifier
qu’elles sont concourantes.
(On ne calculera les coordonnées d’aucun point...)
7 Le plan est rapporté àunrepère orthonormé. Étudier
l’ensemble des points équidistants des droites d’équation :
D 1 : x cos α 1 + y sin α 1 = p 1
D 2 : x cos α 2 + y sin α 2 = p 2
Cercles
8 Le plan est rapporté àunrepère orthonormé. Soit C
le cercle de centre Ω(1, 0) de rayon 1, et C
le cercle de
centre Ω
(0, 1) de rayon
√
2. Soit A et B les points
d’intersection des cercles C et C
.
1) Déterminer une équation de la droite (AB).
2) Quelle est l’équation générale d’un cercle passant par A
et B ?
3) Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle
(ABΩ
).
9 A et B étant deux points distincts du plan et k un
réel strictementp ositif, étudier l’ensemble E k des points
M du plan tels que
MA
MB
= k.
Exercice posé aux oraux des concours
10 (CCP 2006)
Le plan affinee uclidien estr apporté àu nr epère orthonormé. Soit M 0 le point de coordonnées (x 0 , y 0 ).
1) Calculer les coordonnées du symétrique M 1 de M 0 par
rapportàladroite Δ d’équation
x
a
+
y
b
− 1 = 0.
2) Déterminer la courbe Γ décrite par M 0 lorsque les
trois points symétriques de M 0 par rapport aux deux axes
de coordonnéesetà Δ sont alignés.
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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1 Vraioufaux ?
a. Pourtoute base orthonormale ( i, j), il existe une orientation du planpour laquelle cette base est directe.
b. Si (r, θ)e st un couple de coordonnées polaires d’un
point M , r = OM .
c. L’équation polaire r = sin θ représente une droite.
d. Le déterminant de deux vecteurs est nul si et seulement
si ils sont colinéaires.
e. Le système x = 2 − t; y = 1+t est la représentation
paramétrique d’une droite.
f. Toute droite du plan possède une équation de la forme
y = ax + b.
g. La tangente en O au cercle d’équation
x
2
+ y
2
− 4x +2y=0apour équation −2x + y = 0.
Géométrie du triangle
2 Soit A, B, C , trois points non alignésd up lan
E et troisp oints A
∈ (BC ), B
∈ (CA), C
∈ (AB),
distincts de A, B, C .
1) Démontrerque A
, B
et C
sont alignés si et seulement si :
A B
A C
B C
B A
C A
C B
= 1( théorème de Ménélaüs)
2) Trouveru ne condition analogue pour que les droites
(AA
), (BB
)e t( CC
)s oient concourantes (théorème
de Ceva).
3 ABC étant un triangle équilatéral, déterminer l’ensemble des points M du plan tels que MA
2
+ MB
2
= MC
2
.
4 ABC étant un triangle quelconque, on pose a =
BC , b = CA, c = AB. Déterminer la natured el ’ensemble E des points M du plan tels que :
a cos AMA
2
+bcos BM B
2
+ccos CM C
2
=abc
Montrer que les trois sommets du triangle appartiennent
àc et ensemble. En déduire le barycentre du système
(A, a cos A), (B, b cos B), (C , c cos C ).
5 ABC étant un triangle quelconque et α, β, γ trois
réels strictement positifs, soit G le barycentre du système
(A, α), (B, β), (C , γ).
1) Montrerque les aires des triangles GBC , GCA et GAB
sont proportionnelles à α, β et γ.
2) Trouver (α, β, γ)p our que G soit le centre du cercle
inscritdans le triangle ABC .
3) Même question pour le centre du cercle circonscrit à
ABC .
Droites du plan
6 Le plan est rapporté àu nr epère orthonormé. On
donne un triangle par les équations de ses côtés :
⎧
⎨
⎩
x cos α 1 + y sin α 1 = p 1
x cos α 2 + y sin α 2 = p 2
x cos α 3 + y sin α 3 = p 3
Écrire les équations des trois hauteurs du triangle et vérifier
qu’elles sont concourantes.
(On ne calculera les coordonnées d’aucun point...)
7 Le plan est rapporté àunrepère orthonormé. Étudier
l’ensemble des points équidistants des droites d’équation :
D 1 : x cos α 1 + y sin α 1 = p 1
D 2 : x cos α 2 + y sin α 2 = p 2
Cercles
8 Le plan est rapporté àunrepère orthonormé. Soit C
le cercle de centre Ω(1, 0) de rayon 1, et C
le cercle de
centre Ω
(0, 1) de rayon
√
2. Soit A et B les points
d’intersection des cercles C et C
.
1) Déterminer une équation de la droite (AB).
2) Quelle est l’équation générale d’un cercle passant par A
et B ?
3) Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle
(ABΩ
).
9 A et B étant deux points distincts du plan et k un
réel strictementp ositif, étudier l’ensemble E k des points
M du plan tels que
MA
MB
= k.
Exercice posé aux oraux des concours
10 (CCP 2006)
Le plan affinee uclidien estr apporté àu nr epère orthonormé. Soit M 0 le point de coordonnées (x 0 , y 0 ).
1) Calculer les coordonnées du symétrique M 1 de M 0 par
rapportàladroite Δ d’équation
x
a
+
y
b
− 1 = 0.
2) Déterminer la courbe Γ décrite par M 0 lorsque les
trois points symétriques de M 0 par rapport aux deux axes
de coordonnéesetà Δ sont alignés.
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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