Géométrie élémentaire du plan
Exercice résolu
PROBLÈME DE NAPOLÉON
Le problème suivantfut résolu par Napoléon Bonaparte lorsqu’il était élève au collège de Brienne :
construire le centre d’un cercle donné avec seulement un compas (on s’interdit l’usage de la règle).
On demande de justifier la solution suivante :u np oint Aé tant choisi sur le cercle C, on
construit un cercle C 1 de centre Ac oupant C en deuxpoints Be tC .Les cercles de centres
Be tCpassant par As erecoupent en un point D. Le cercle de centreDpassant par A
coupe C 1 en Ee tF .Les cercles de centres Ee tF passant parAs erecoupent en un point
G. Montrer que Ge st le centre du cercle C.
Conseils
Solution
Choisir un repère et calculer les coordonnées de tous les points.
Choisissons un repère orthonormal de centre O, centre du cercle C. Ce
cercle apour équation cartésienne :
x
2
+ y
2
= R
2
(1)
Utiliser la symétrie de la figure.
Soit A le point de coordonnées( − R , 0). La figure étant symétriquepar
rapportàl’axe (Ox), les points A, D, G appartiennentà (Ox), et nous
n’aurons àcalculer que leurs abscisses. Le cercle C 1 de centre A de rayon
r apour équation :
(x + R)
2
+ y
2
= r
2
⇐⇒ x
2
+ y
2
+2Rx + R
2
− r
2
= 0
(2)
Les coordonnées des points B et C vérifient les équations (1) et (2),d’où
2Rx +2R
2
−r
2
=0
x B =x C =
r
2
−2R
2
2R
Comme D estlesymétrique de A parrapport àladroite (BC ):
x D =2 x B −x A =
r
2
−R
2
R
Le cercle de centre D passantp ar A ap our rayon R + x D =
r
2
R
;u ne
équation cartésiennedececercle est :
x −
r
2
− R
2
R
2
+ y
2
=
r
4
R 2
c’est-à-dire :
x
2
+ y
2
−
2(r
2
− R
2
)
R
x + R
2
− 2r
2
= 0
(3)
Les coordonnées des points E et F vérifient les équations (2) et (3),
d’où :
2R +
2(r
2
− R
2
)
R
x + r
2
= 0, et par conséquent :
x E = x F = −
R
2
Le point G est le symétrique de A par rapport àladroite (EF ):
x G =2 x E −x A =0
C
E
B
D
G
C
A
F
C 1
Doc. 23.
On en conclut que le point G apour coordonnées (0, 0) ;c ’est bien le
centre du cercle C (Doc. 23).
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