COURS 4
Géométrieélémentaire du plan
APPLICATION 6
Équation de la tangente àuncercle en un point donné
Le plan étantr apporté àunrepère orthonormal, soit C
un cercle de centre Ω(a, b), de rayon R, et H =
(x 0 , y 0 ) un point de C. Une équation cartésienne du
cercle C est :x
2
+ y
2
− 2 ax − 2by + c = 0, où
c = a
2
+ b
2
− R
2
. Déterminer une équation de la
droite Dt angente à C en H .
D est la droite passant par H , de vecteurn ormal
−→
Ω H :
M ( x , y ) ∈ D
⇐⇒
−→
Ω H ·
−−→
HM = 0
⇐⇒ ( x 0 − a )(x − x 0 )+(y 0 −b)(y − y 0 ) = 0
C’est-à-dire :
x 0 x + y 0 y − ax − by − x
2
0 − y
2
0 + ax 0 + by 0 = 0
Comme H ∈C :
x
2
0 +y
2
0 −2ax 0 − 2by 0 + c = 0,
on peut écrire :
x 0 x + y 0 y − a(x + x 0 ) − b(y + y 0 )+c=0
L’équation de la tangente en H à C est obtenue à
partir de cellede C en «dédoublant »les termes x
2
,
y
2
en x 0 x, y 0 y, et 2ax, 2by en a(x+x 0 ), b(y+y 0 ).
5.4 • Paramétrages d’un cercle
Le plané tant rapporté àu nr epère orthonormal, soit C un cercle de centre
Ω(a, b), de rayon R. Un point M (x, y)a ppartient à C si et seulement si
(x − a)
2
+(y−b)
2
=R
2
, c’est-à-dire s’il existe θ ∈ R telque : x − a = R cos θ,
y − b = R sin θ. Le cercle C peut donc être représenté paramétriquement par:
x(θ)=a+R cos θ
y(θ) = b + R sin θ
θ ∈ R
Ce paramétrage revient àdécrire le cercle d’un mouvement uniforme. Il estpériodique de période 2π. Le cercleest décrit tout entier pour θ ∈ [0, 2π].
A
M
t
2
Doc. 22 Paramétrage rationnel d’un
cercle privéd’un point.
Une autre possibilité est intéressante :
Pour θ = π +2kπ(k∈Z), posons : t = tan
θ
2
;o na:
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
sin θ = 2sin
θ
2
cos
θ
2
= 2tan
θ
2
cos
2 θ
2
=
2t
1+t 2
cos θ = cos
2 θ
2
− sin
2 θ
2
= cos
2 θ
2
(1 − tan
2 θ
2
) =
1 − t
2
1+t 2
On peut donc paramétrer le cercle, privé du point A = Ω − R i (Doc. 24), par :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x(t) = a + R
1 − t
2
1+t 2
y(t)=b+R
2t
1+t 2
t ∈R
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