Géométrie élémentaire du plan
COURS
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5 Cercles
5.1 • Équation cartésienne d’uncercle
R
M
C
Doc. 19 Cercle.
Le plan estr apporté àu nr epère orthonormal (O,, i, j). Le cercle C de centre
Ω(a, b), de rayon R estl’ensemble des points M (x, y)t els que
−−→
Ω M
2
= R
2
( Doc. 19) ;iladonc pour équation :
(x − a)
2
+(y−b)
2
=R
2
C’est-à-dire : x
2
+ y
2
− 2ax − 2by + c = 0, où c = a
2
+ b
2
− R
2
.
Pour s’entraîner :ex. 8
5.2 • Cercle donné par un diamètre
R
AB
M
C
Doc. 20 Diamètre d’un cercle.
Soit [AB ]u ndiamètre du cercle C de centre Ω, de rayon R (Doc. 20); pour
toutpoint M du plan, on peut écrire :
−→
MA ·
−→
MB = (
−−→
M Ω +
−→
Ω A ) · (
−−→
M Ω −
−→
Ω A ) =
−−→
M Ω
2
−
−→
Ω A
2
=
−−→
M Ω
2
− R
2
D’où :
M ∈C
⇐⇒
−→
MA ·
−→
MB = 0
Le cercle C estdonc l’ensemble des points M telsque
−→
MA ·
−→
MB = 0.
Si dans un repère orthonormal, les points A et B ont respectivement pour
coordonnées (a, b), (a
, b
), le cercle C apour équation :
(x − a)(x − a
)+(y−b)(y − b
) = 0
5.3 • Intersection d’un cercle et d’une droite
D 1
A
C
B
D 2
D 3
H 1
H 2
H 3
Doc. 21 Intersection d’uncercle et
d’unedroite.
Soit C un cercle de centre Ω, de rayon R, et D une droite quelconque du
plan. Désignonspar H le projeté orthogonal de Ω sur D. Pour tout point M
de D : ΩM
2
= ΩH
2
+ HM
2
. Ce point appartient aussi à C si et seulementsi:
HM
2
= R
2
− ΩH
2
(Doc. 21).
L’intersection C∩D dépend donc de la distance ΩH = d(Ω, D):
• si d(Ω, D) > R : C∩D=∅;
• si d(Ω, D) = R, C∩D={H} : D est tangente à C ;
Pardéfinition, (ΩH ) ⊥ D :l atangente àuncercle est orthogonale au rayon
correspondant;
• si d(Ω, D) < R, C∩D={A,B}, où A et B sont les deux points de D
tels que HA = HB =
R 2 − d(Ω, D) 2 : D estsécante à C.
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