COURS 4
Géométrieélémentaire du plan
4.5 • Distance d’unpoint àune droite
D
H
N
M
Doc. 17 Distance d’un point àune
droite
Soit D une droited up lan. Pour tout point M du plan, on appelle distance
de M à D la plusp etite distance entre M et un point de D. Ellee st notée
d(M , D)( Doc. 17).
Soit H le projeté orthogonal de M sur D. Pour tout point N de D :
MN
2
= MH
2
+ HN
2
MH
2
Le minimumdeladistance MN est donc MH :
d(M , D) = HM
Comme de plus, MN = MH
⇐⇒ HN = 0, ce minimum est atteint
uniquement lorsque N = H .
Calculons cette distance dans un repère orthonormal (O,, i, j). La droite D est
déterminée paru np oint A(x A , y A )e tu nv ecteurn ormal n(a, b). Elle ap our
équation cartésienne ax + by + c = 0.
On a:
−−→
AM · n = (
−→
AH +
−−→
HM ) · n =
−−→
HM · n = ±±
−−→
HM n
On en déduit :
d(M , D) =
−−→
AM · n
n
Or
−−→
AM · n = a(x − x A )+b(y−y A )=ax + by + c, d’où :
d(M , D) =
|ax + by + c|
√ a 2 + b 2
Pour s’entraîner:ex. 7
4.6 • Équation normale d’unedroite
y
O
D
H
x
j
!
n
!
i
!
u
Doc. 18 Représentation normaled’une
droite.
Le repère étantt oujours orthonormal, on peut choisir de décrire une droite D
par un point et un vecteur normal unitaire n (Doc. 18). Si n = 1, il existe
θ ∈ R telque n = (cos θ, sin θ). Uneéquation cartésienne de D est alors :
−−→
AM · n = 0 ⇐⇒ ( x − x A )cos θ +(y−y A )sin θ = 0
soit :
x cos θ + y sin θ = p
où p =
−−→
OM · n pour tout point M de D.
En particulier pour le point H , projetéo rthogonal de O sur D :
p =
−−→
OH · n = OH :l ec ouple( p , θ )e st un couple de coordonnées polaires de H (onadonc |p| = OH = d(O, D)).
Cetteéquation est appelée équation normale de la droite D.
La distance d’un point M àl ad roite D s’exprimef acilement àl ’aide de cette
équation normale :
d(M , D) = |x cos θ + y sin θ − p|
86