Géométrie élémentaire du plan
COURS
4
4.4 • Droite définiepar un point et un vecteur normal
D
A
M
!
n
Doc. 16 Vecteurnormal àune droite.
Choisissons cette fois un repère (O,, i, j)o rthonormal, et considérons la droite
D passant par le point A(x A , y A )e torthogonale au vecteur non nul n(a, b)( n
est appelé vecteur normal à D)( Doc. 16). Un point M de coordonnées( x , y )
appartient àladroite D si et seulementsi:
−−→
AM · n = 0
c’est-à-dire :
a(x − x A )+b(y−y A )=0
On retrouve l’équation cartésienne de D :
ax + by + c = 0, où c = −ax A − by A
Réciproquement, toute équation de la forme :
ax + by + c = 0
avec( a , b ) =(0, 0) représente unedroite de vecteur normal n(a, b).
Remarque :Cette équation équivaut à
−−→
OM · n = C
te
; les droites de vecteurnormal
ns ont leslignes de niveau de l’application M
→
−−→
OM · n.
APPLICATION 5
Orthocentre d’un triangle
Le planétant rapporté àunrepère orthonormal (O,, i, j),
écrire des équations cartésiennes des hauteurs du triangle
ABC , où A(−1, 1), B(3, −1), C (1, 4). Vérifier
qu’elles sont concourantes. Déterminer l’orthocentred u
triangle.
La hauteurissue de A estladroite passant par A, de
vecteurnormal
−→
BC ;e lle apour équation :
−−→
AM ·
−→
BC = 0 ⇐⇒ − 2(x +1)+5(y−1) = 0
⇐⇒ − 2 x +5y−7=0
De même, la hauteur issue de B apour équation :
−−→
BM ·
−→
AC = 0 ⇐⇒ 2(x − 3) +3(y+1)=0
⇐⇒ 2 x +3y−3=0
et la hauteur issue de C :
−−→
CM ·
−→
AB = 0 ⇐⇒ 4(x − 1) − 2(y − 4) = 0
⇐⇒ 2 x − y +2=0
On remarque qu’en retranchant membre àm embre
la première équation de la seconde, on obtient deux
foisl at roisième ;d onc tout point qui appartient aux
deuxp remières hauteurs appartient nécessairement à
la troisième :elles sont concourantes.
En résolvant le système, on obtient les coordonnées de
l’orthocentre H du triangle ABC :
H =
−
3
8
,
5
4
Pours’entraîner :ex. 6
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
85