COURS 4
Géométrieélémentaire du plan
4.3 • Équation cartésienne d’une droite
Avec les mêmes notationsque dans le paragraphe précédent, on peut aussi exprimer
que M appartient à D parD et(
−−→
AM ,, u) = 0, c’est-à-dire :
x − x A α
y − y A β
= 0
ce qui équivaut à: β(x−x A )−α(y−y A )=0
ou encore : βx − αy = βx A − αy A
Remarque :Cette équation équivaut à Det(
−−→
OM ,, u) = C
te
; les droites dirigées par
us ont leslignes de niveau de l’application M
→ Det(
−−→
OM ,, u).
En posant a = β, b = −α, c = −βx A + αy A , cetteéquation s’écrit :
ax + by + c = 0
Elle estappelée équation cartésienne de D ;e lle caractérise l’appartenance d’un
pointà D, c’est-à-dire que :
M (x, y) ∈ D
⇐⇒
ax + by + c = 0
Réciproquement,toute équation de la forme ax + by + c = 0, avec( a , b ) =(0, 0)
représente unedroite de vecteur directeur u(−b, a).
Remarque :L’équation cartésienne d’une droite est unique àunfacteur multiplicatif
près, c’est-à-dire que si ax + by + c = 0 est uneéquation de D, toute équation de D
est de la forme kax + kby + kc = 0, où ke st un réel non nul.
APPLICATION 4
Équation cartésienne d’une droite passantpar deux points donnés
Le plan étantr apporté àu nr epère (O,, i, j), écrire des
équationsc artésiennes des côtés du triangle ABC, où
A(−1, 1), B(3, −1), C (1, 4).
Soit M (x, y)u npoint du plan.
M ∈ (AB) ⇐⇒ Det(
−−→
AM ,
−→
AB) = 0
⇐⇒
x +1 4
y−1 −2
=0
⇐⇒ x +2y−1=0
M ∈(BC ) ⇐⇒ Det(
−−→
BM ,
−→
BC) = 0
⇐⇒
x − 3 − 2
y +1 5
=0
⇐⇒ 5 x +2y−13 = 0
M ∈ (AC ) ⇐⇒ Det(
−−→
AM ,
−→
AC ) = 0
⇐⇒
x +1 2
y−13
= 0
⇐⇒ 3 x − 2 y +5=0
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