Géométrie élémentaire du plan
COURS
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APPLICATION 3
Projetéorthogonal d’un point sur une droite
Le plan étantrapporté àunrepère orthonormal, on considère les points A(−1, 1), B(3, −1), C (1, 4) ; déterminer le point Hp rojeté orthogonal de Cs ur la droite
(AB) (Doc. 14).
x
O
A
H
B
C
y
Doc. 14
Le point H cherché, de coordonnées (x, y), est défini par :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
A, B, H alignés :D et(
−→
AB,
−→
AH ) = 0,
(CH )orthogonale à(AB):
−→
AB ·
−→
CH = 0.
Soit analytiquement :
4(y − 1) +2(x+1)=0
4(x − 1) − 2(y − 4) = 0
ce qui équivaut à:
x+2y=1
2x−y=−2
Ce système aune solution unique :
(x, y) =
−
3
5
,
4
5
.
H =
−
3
5
,
4
5
4.2 • Représentation paramétrique d’unedroite
D
A
M
!
u
Doc. 15 Repère d’unedroite.
Le plan étant rapporté àunrepère (O,, i, j), considérons la droite D passant par
le point A(x A , y A )e tdirigée par le vecteur non nul u(α, β)( Doc. 15). Un point
M de coordonnées( x , y )a ppartient àl ad roite D si et seulements i
−−→
AM est
colinéaire à u, c’est-à-dire qu’ilexiste un réel t tel que
−−→
AM = t u, soit :
x = x A + α t
y = y A + β t
La droite D estd écrite comme une courbe paramétrée ;c es ystème esta ppelé
représentation paramétrique de D.
Réciproquement, tout système de cette forme représente une droite, dont on
connaîtunpoint A(x A , y A )e tunvecteur directeur u(α, β).
Remarque :Enlimitant lesvariations de t, on décrit unepartie de la droite D :
• t 0:demi-droite fermée d’origine Ad irigée par u ;
• t ∈ [0, 1] : segment [AB] où B = A + u( unique point tel que
−→
AB = u).
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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