COURS 4
Géométrieélémentaire du plan
3.5 • Expressiondans une base orthonormale directe
Soit ( i, j)u ne base orthonormale directe, u,, vdeux vecteurs de coordonnées
respectives :( x , y )e t( x
, y
) .Calculons le déterminant de u et v :
Det( u,, v) = Det(x i + y j, x
i + y
j)
On peut développer en utilisant la bilinéarité du déterminant :
Det( u,, v) = xx
Det( i,, i)+xy
Det( i, j)+yx
Det( j,, i)+yy
Det( j, j)
Comme la base est orthonormale directe,
Det( i,, i) = 0, Det( i, j) = 1, Det( j,, i) = −1, Det( j, j) = 0;
d’où :
Det( u,, v) = xy
− yx
Notation :onécrit ce déterminant sous la forme :
Det( u,, v) =
xx
yy
Remarque :Dans unebase ( i, j) quelconque,orthonormale ou non, on obtiendrait :
Det( u,, v) = (xy
− x
y)Det( i, j), c’est-à-dire un résultat proportionnel à (xy
− x
y).
On adonc toujours l’équivalence :
( u,, v) colinéaires
⇐⇒
xy
− x
y = 0
Il n’est donc pas nécessaire d’utiliser unebase orthonormale pour exprimer la colinéarité
de deux vecteurs.
3.6 • Expression en termes de nombrescomplexes
Identifionsles vecteurs u et v avec les nombres complexes :
z = x + iy ; z
=x
+iy
On a: zz
= (x −iy)(x
+ iy
) = (xx
+ yy
)+i(xy
− yx
); d’où :
Det( u,, v) = Im (zz
)
4 Droites du plan
4.1 • Utilisation du produitscalaire et du déterminant
Le produitscalaire et le déterminant constituent deux outilsessentiels pour exprimer que deuxvecteurs u et v sont :
• orthogonaux : u · v = 0,
xx
+ yy
= 0( base orthonormale) ;
• colinéaires :D et( u,, v) = 0,
xy
− x
y = 0( base quelconque).
Par exemple, on exprimera l’alignement de trois points A, B, C par :
Det(
−→
AB,
−→
AC ) = 0
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