Géométrie élémentaire du plan
COURS
4
3.2 • Interprétation en terme d’aire
O
B
A
H
Doc. 11 Projection.
Supposons u et v non colinéaires. Soit O, A, B trois points tels que
−→
OA = u
et
−→
OB = v ;s oit H le projetéorthogonal de B sur la droite (OA)( Doc. 11).
On a: u=OA et v sin( u,, v) = HB, en orientant la droite (HB)d ans
le sens directement orthogonal à( OA). D’où :
Det( u,, v) = OA · HB
O
B
A
!
u
!
v
Doc. 12 Aire du parallélogramme.
On remarque que |Det( u,, v)| est égal au double de l’aire du triangle (OAB), c’està-dire àl’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs u et v (Doc. 12). Le
signe du déterminant dépend de l’orientation de l’angle ( u,, v):
–positif si l’angle ( u,, v)e st de sens direct ;
–négatif si l’angle ( u,, v)e st de sens rétrograde.
Si les vecteurs u et v sont colinéaires, le déterminant est nul, tout comme l’aire
du parallélogramme qui est alors aplati. On peut donc énoncer :
Le déterminant de deux vecteurs est égal àl ’aire du parallélogramme qu’ils
déterminent, affectée d’un signe correspondant àl’orientation de leur angle.
3.3 • Antisymétrie
Remarquons que pour tous vecteurs u et v, sin( u,, v) = − sin( v,, u), et par
conséquent :
Det( u,, v) = −Det( v,, u)
On dit que le déterminant est antisymétrique.
3.4 • Bilinéarité
!
!
!
x
x
x 2
x 1
O
y
y 2
y 1
!
v 1
j
i
!
v 2
u
Doc. 13 Linéaritédudéterminant par
rapport au deuxième vecteur.
Soit u,, v 1 et v 2 trois vecteurs, α et β deux réels (Doc. 13). Démontrons que:
Det( u, α
v 1 + β
v 2 ) = α Det( u,, v 1 )+βDet( u,, v 2 )
Si u = 0, cette égalité estévidente.
Si u = 0, considérons le vecteur i =
u
u
(vecteur unitaire colinéaire à u de
même sens), et le vecteur j imagede i par la rotation d’angle
π
2
.
La base( i , j )e st orthonormale directe. Considérons les coordonnées des vecteurs
u,, v 1 et v 2 dans cette base :
u = (x, 0) où x = u ; v 1 = (x 1 , y 1 ); v 2 = ( x 2 , y 2 )
Les coordonnées du vecteur α v 1 + β v 2 sont donc :( α x 1 +β x 2 , α y 1 +β y 2 ) .
Appliquons le résultat du paragraphe 3.2:
Det( u,, v 1 ) = xy 1 ;D et( u,, v 2 ) = xy 2 ;D et( u, α v 1 + β v 2 ) = x(αy 1 + βy 2 )
d’où :
Det( u, α v 1 + β v 2 ) = α Det( u,, v 1 )+βDet( u,, v 2 )
L’application v
→ Det( u,, v)e st linéaire. Comme le déterminant est antisymétrique, pour toutv ecteur v l’application u → Det( u,, v)e st également linéaire
(écrivez ce que cela signifie) ;endéfinitive, le déterminant est bilinéaire.
Pour s’entraîner :ex. 5
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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3.2 • Interprétation en terme d’aire
O
B
A
H
Doc. 11 Projection.
Supposons u et v non colinéaires. Soit O, A, B trois points tels que
−→
OA = u
et
−→
OB = v ;s oit H le projetéorthogonal de B sur la droite (OA)( Doc. 11).
On a: u=OA et v sin( u,, v) = HB, en orientant la droite (HB)d ans
le sens directement orthogonal à( OA). D’où :
Det( u,, v) = OA · HB
O
B
A
!
u
!
v
Doc. 12 Aire du parallélogramme.
On remarque que |Det( u,, v)| est égal au double de l’aire du triangle (OAB), c’està-dire àl’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs u et v (Doc. 12). Le
signe du déterminant dépend de l’orientation de l’angle ( u,, v):
–positif si l’angle ( u,, v)e st de sens direct ;
–négatif si l’angle ( u,, v)e st de sens rétrograde.
Si les vecteurs u et v sont colinéaires, le déterminant est nul, tout comme l’aire
du parallélogramme qui est alors aplati. On peut donc énoncer :
Le déterminant de deux vecteurs est égal àl ’aire du parallélogramme qu’ils
déterminent, affectée d’un signe correspondant àl’orientation de leur angle.
3.3 • Antisymétrie
Remarquons que pour tous vecteurs u et v, sin( u,, v) = − sin( v,, u), et par
conséquent :
Det( u,, v) = −Det( v,, u)
On dit que le déterminant est antisymétrique.
3.4 • Bilinéarité
!
!
!
x
x
x 2
x 1
O
y
y 2
y 1
!
v 1
j
i
!
v 2
u
Doc. 13 Linéaritédudéterminant par
rapport au deuxième vecteur.
Soit u,, v 1 et v 2 trois vecteurs, α et β deux réels (Doc. 13). Démontrons que:
Det( u, α
v 1 + β
v 2 ) = α Det( u,, v 1 )+βDet( u,, v 2 )
Si u = 0, cette égalité estévidente.
Si u = 0, considérons le vecteur i =
u
u
(vecteur unitaire colinéaire à u de
même sens), et le vecteur j imagede i par la rotation d’angle
π
2
.
La base( i , j )e st orthonormale directe. Considérons les coordonnées des vecteurs
u,, v 1 et v 2 dans cette base :
u = (x, 0) où x = u ; v 1 = (x 1 , y 1 ); v 2 = ( x 2 , y 2 )
Les coordonnées du vecteur α v 1 + β v 2 sont donc :( α x 1 +β x 2 , α y 1 +β y 2 ) .
Appliquons le résultat du paragraphe 3.2:
Det( u,, v 1 ) = xy 1 ;D et( u,, v 2 ) = xy 2 ;D et( u, α v 1 + β v 2 ) = x(αy 1 + βy 2 )
d’où :
Det( u, α v 1 + β v 2 ) = α Det( u,, v 1 )+βDet( u,, v 2 )
L’application v
→ Det( u,, v)e st linéaire. Comme le déterminant est antisymétrique, pour toutv ecteur v l’application u → Det( u,, v)e st également linéaire
(écrivez ce que cela signifie) ;endéfinitive, le déterminant est bilinéaire.
Pour s’entraîner :ex. 5
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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