COURS 4
Géométrieélémentaire du plan
2.5 • Expressiondans une base orthonormale
Soit ( i, j)u ne base orthonormale, u,, vdeux vecteurs de coordonnées respectives :( x , y )e t( x
, y
) .Calculons le produit scalaire de u et v :
u · v = (x i + y j) · (x
i + y
j)
On peut développer en utilisant la bilinéarité du produit scalaire :
u · v = xx
i · i + xy
i · j + yx
j · i + yy
j · j
Comme la base est orthonormale, i · i = 1, j · j = 1,, i · j = 0; d’où :
u · v = xx
+ yy
On en déduit l’expression de la norme d’un vecteur :
u =
√
u · u =
x 2 + y 2
Remarque :Dans unebase non orthonormale, on obtiendrait des résultats plus compliquésf aisant intervenir les valeurs des produits scalaires des vecteurs de base entre
eux.
On obtienté galement la distance de deux points du plan, en fonction de leurs
coordonnées dans un repèreorthonormal :
AB =
−→
AB =
(x B − x A ) 2 +(y B −y A ) 2
2.6• Expression en termes de nombres complexes
Identifionsles vecteurs u et v avec les nombres complexes :
z = x + iy ; z
=x
+iy
On a: zz
= (x −iy)(x
+ iy
) = (xx
+ yy
)+i(xy
− yx
); d’où :
u · v = Re (zz
)
3 Déterminant
3.1 • Définition
Le plan est supposé orienté. On appelle déterminant de deux vecteurs u et v, le
réel :
Det( u,, v) = u v sin( u,, v)
où ( u,, v)r eprésente l’angle des vecteurs u et v (dans le cas où l’un des vecteurs
u ou v estn ul, cet angle peut être choisi arbitrairement ;o nadans ce cas
Det( u,, v) = 0).
Remarque :Cette définition dépend de l’orientation choisie dans le plan. Si on avait
choisi l’orientationcontraire, on aurait obtenu un déterminant opposé pour lesmêmes
vecteurs ue t v .
Notons que Det( u,, v) = 0s ietseulement si l’angle ( u,, v)e st égal à0modulo
π, c’est-à-dire si les vecteurs u et v sont colinéaires.
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