Géométrie élémentaire du plan
COURS
4
La base ( i, j)e st orthonormale. Considérons les coordonnées des vecteurs u,, v 1
et v 2 dans cette base :
u = (x, 0) où x = u ; v 1 = (x 1 , y 1 ); v 2 = ( x 2 , y 2 )
Les coordonnées du vecteur α v 1 + β v 2 sont donc :( α x 1 +β x 2 , α y 1 +β y 2 ) .
Appliquons le résultat du paragraphe 2.2, en projetant orthogonalement tous les
vecteurs sur le support de u :
u · v 1 = xx 1 ; u · v 2 = xx 2 ; u · (α v 1 + β v 2 ) = x(αx 1 + βx 2 )
d’où :
u · (α v 1 + β v 2 ) = α u · v 1 + β u · v 2
On dit que l’application v
→ u · v est linéaire.C omme le produit scalaire est
symétrique, pour tout vecteur v fixé, l’application u
→ u · v est également
linéaire, c’est-à-dire que pour tous vecteurs u 1 ,, u 2 :
( α u 1 + β u 2 ) · v = α u 1 · v + β u 2 · v
En définitive, on dit que le produit scalaire est bilinéaire.
Pours’entraîner :ex. 3à4
APPLICATION 2
Linéarité d’une application ;premiers exemples
Soit E l’ensemble des vecteurs du plan. On dit qu’une
application f de E dans E (oud ans R)e st linéaire si pourtous vecteurs u,, vde E et tousréels
α et β :
f (α u + β v) = α f ( u)+βf( v)
Nous venons de rencontrer deux exemples avec
les applications v → u · v,, u → u · v de E dans R.
Donnonstrois exemples d’applications linéaires de E
dans E :
• L’homothétievectorielle de rapport k : u
→ k u ;
elle est linéaire car : k (α u + β v) = α k u + β k v.
• La projection sur la droite D parallèlementàla
droite D
, sécante avec D en O. En choisissant
un repère (O,, i, j)o ù i , jsont des vecteurs directeurs respectifs de D et D
, l’image du vecteur
u = x i + y j est x i. On vérifie facilement que
cette application estlinéaire.
• La rotation vectorielled ’angle ω ;àtout
vecteur u d’affixe z = r e
iθ
, elle associe le vecteur
d’affixe z
= r e
i(θ+ω)
= e
iω
z. Elle est linéaire car :
e
iω
(α z 1 + β z 2 ) = α e
iω
z 1 + β e
iω
z 2
Il est clair que la composée de deuxa pplications
linéaires estl inéaire :p ar exemple, une similitude
directe vectorielle, composée d’une rotation et d’une
homothétie vectorielles, est linéaire.
La notiond ’application linéaire est extrêmement importante. Nous l’étudieronsdefaçon plus approfondie
dans le chapitre 11 : Espaces vectoriels.
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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La base ( i, j)e st orthonormale. Considérons les coordonnées des vecteurs u,, v 1
et v 2 dans cette base :
u = (x, 0) où x = u ; v 1 = (x 1 , y 1 ); v 2 = ( x 2 , y 2 )
Les coordonnées du vecteur α v 1 + β v 2 sont donc :( α x 1 +β x 2 , α y 1 +β y 2 ) .
Appliquons le résultat du paragraphe 2.2, en projetant orthogonalement tous les
vecteurs sur le support de u :
u · v 1 = xx 1 ; u · v 2 = xx 2 ; u · (α v 1 + β v 2 ) = x(αx 1 + βx 2 )
d’où :
u · (α v 1 + β v 2 ) = α u · v 1 + β u · v 2
On dit que l’application v
→ u · v est linéaire.C omme le produit scalaire est
symétrique, pour tout vecteur v fixé, l’application u
→ u · v est également
linéaire, c’est-à-dire que pour tous vecteurs u 1 ,, u 2 :
( α u 1 + β u 2 ) · v = α u 1 · v + β u 2 · v
En définitive, on dit que le produit scalaire est bilinéaire.
Pours’entraîner :ex. 3à4
APPLICATION 2
Linéarité d’une application ;premiers exemples
Soit E l’ensemble des vecteurs du plan. On dit qu’une
application f de E dans E (oud ans R)e st linéaire si pourtous vecteurs u,, vde E et tousréels
α et β :
f (α u + β v) = α f ( u)+βf( v)
Nous venons de rencontrer deux exemples avec
les applications v → u · v,, u → u · v de E dans R.
Donnonstrois exemples d’applications linéaires de E
dans E :
• L’homothétievectorielle de rapport k : u
→ k u ;
elle est linéaire car : k (α u + β v) = α k u + β k v.
• La projection sur la droite D parallèlementàla
droite D
, sécante avec D en O. En choisissant
un repère (O,, i, j)o ù i , jsont des vecteurs directeurs respectifs de D et D
, l’image du vecteur
u = x i + y j est x i. On vérifie facilement que
cette application estlinéaire.
• La rotation vectorielled ’angle ω ;àtout
vecteur u d’affixe z = r e
iθ
, elle associe le vecteur
d’affixe z
= r e
i(θ+ω)
= e
iω
z. Elle est linéaire car :
e
iω
(α z 1 + β z 2 ) = α e
iω
z 1 + β e
iω
z 2
Il est clair que la composée de deuxa pplications
linéaires estl inéaire :p ar exemple, une similitude
directe vectorielle, composée d’une rotation et d’une
homothétie vectorielles, est linéaire.
La notiond ’application linéaire est extrêmement importante. Nous l’étudieronsdefaçon plus approfondie
dans le chapitre 11 : Espaces vectoriels.
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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