COURS 4
Géométrieélémentaire du plan
c’est-à-dire,enposant α = 2R cos θ 0 , β = 2R sin θ 0 :
r = α cos θ + β sin θ
Réciproquement, toute équation polaire de ce type représente un cercle passant
par l’origine (on peut retrouver R et θ 0 àpartir de α et β).
2 Produit scalaire
2.1 • Définition
On appelle produitscalaire de deuxvecteurs u et v, le réel :
u · v = u v cos( u,, v)
où ( u,, v)r eprésente l’angle des vecteurs u et v (dans le cas où l’un des vecteurs u
ou v estnul, cet angle peut être choisi arbitrairement ;onadans ce cas u· v = 0).
2.2 • Interprétation en termedeprojection
O
B
A
H
Doc. 9 Produitscalaire.
Supposons u et v non nuls. Soit O, A, B trois points tels que
−→
OA = u et
−→
OB = v ;s oit H le projetéo rthogonal de B sur la droite (OA)( Doc. 9).
En orientantc ette droite dans le sens du vecteur
−→
OA, on a: u =OA et
v cos( u,, v) = OH ;d ’où :
u · v = OA · OH
Bienentendu, cette relation reste vraie si l’un des vecteurs u ou v est nul.
Comme les deux vecteurs u et v jouent le même rôle, on peut énoncer :
Le produit scalaire de deux vecteurs estleproduit des mesures algébriques de
leurs projetés orthogonaux surlesupport de l’un d’entre eux.
2.3 • Symétrie
Remarquons que pour tous vecteurs u et v, cos( u,, v) = cos( v,, u), et par
conséquent :
u · v = v · u
On ditque le produit scalaire est symétrique.
2.4 • Bilinéarité
!
!
!
!
!
x
x
x 2
x 1
O
y
y 0
v 1
j
i
v 2
u
Doc. 10 Linéarité du produit scalaire
par rapport au deuxième vecteur.
Soit u,, v 1 et v 2 trois vecteurs, α et β deux réels (Doc. 10). Démontrons que:
u·(α v 1 +β v 2 )=α u· v 1 +β u· v 2
Si u = 0, cette égalité estévidente.
Si u = 0, considérons le vecteur i =
u
u
(vecteur unitaire colinéaire à u de
même sens), et le vecteur j imagede i par la rotation d’angle
π
2
.
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