Géométrie élémentaire du plan
COURS
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!
!
!
i
O
M
j
u()
Doc. 6 Cas où r est négatif.
Attention:Contrairement aux coordonnées cartésiennes, les coordonnées
polaires d’un pointnesont pas uniques :
• Pour l’origine O, r = 0, mais θ estquelconque.
• Le point M de coordonnées polaires (r, θ)a aussi pour coordonnées polaires
(r, θ +2π)e t( − r , θ +π ) .L’ensemble des couples de coordonnées polaires de
M , distinct de l’origine,est : {
(−1)
k
r , θ + kπ
, k ∈ Z}.
Remarque :Enphysique, on considère en général que r = OM , c’est-à-dire quer
est nécessairement positif.Nous verrons cependant qu’il est souvent pratique d’utiliser
des coordonnées polaires où rp eut être de signe quelconque.
On peut facilement exprimer les coordonnées cartésiennesd’un point en fonction
d’un couple de coordonnées polaires :
de
−−→
OM = r u(θ), on déduit x i + y j = r(cos θ i +sin θ j), d’où,d’après l’unicité
des coordonnées cartésiennes :
x = r cos θ
y = r sin θ
1.5 • Équation polaired’une droite
!
!
0
x
O
D
y
u() 0
y 0
v () 0
Doc. 7 Représentation polaired’une
droite.
Soit D une droiteduplan. Notons θ 0 une mesure de l’angle que fait D avec
l’axe Ox (θ 0 est définià kπ près) (Doc. 7).
–Si D passe par l’origine, une équation polaire de D est: θ=θ 0 .
–Si D ne passe pas par O, elleapouréquation y = y 0 dans le repère polaire
(O,, u(θ 0 ),, v(θ 0 )), c’est-à-dire en coordonnéespolaires : r sin(θ − θ 0 ) = y 0 . Une
équation polairede D est donc :
r =
y 0
sin(θ − θ 0 )
c’est-à-dire, en posant α = −
sin θ 0
y 0
, β =
cos θ 0
y 0
:
r =
1
α cos θ + β sin θ
Réciproquement,toute équation polaire de ce type représente une droite ne passant
pas par l’origine (on peut retrouver y 0 et θ 0 àpartir de α et β).
1.6 • Équation polaire d’un cercle passant par l’origine
I
θ
y
O
x
M
Ω
θ 0
j
!
i
!
Doc.8 Représentation polaire d’un
cercle.
Soit C le cercle de centre Ω, de coordonnées polaires (θ 0 , R), quip asse par
l’origine (Doc. 8).
Soit M un pointquelconque de C , de coordonnées polaires (θ, r). Calculons
l’angle (
−→
O Ω ,
−−→
OM ):
(
−→
O Ω ,
−−→
OM ) = ( − → i ,
−−→
OM ) − ( − → i ,
−→
O Ω ) = θ − θ 0
Soit I le milieu de [OM ]; on adonc OI = R cos(θ − θ 0 ), et parconséquent
OM = 2R cos(θ − θ 0 ). Réciproquement, tout point M vérifiant cette relation
appartient au cercle C , qui adonc pour équation polaire :
r = 2R cos(θ − θ 0 )
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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Doc. 6 Cas où r est négatif.
Attention:Contrairement aux coordonnées cartésiennes, les coordonnées
polaires d’un pointnesont pas uniques :
• Pour l’origine O, r = 0, mais θ estquelconque.
• Le point M de coordonnées polaires (r, θ)a aussi pour coordonnées polaires
(r, θ +2π)e t( − r , θ +π ) .L’ensemble des couples de coordonnées polaires de
M , distinct de l’origine,est : {
(−1)
k
r , θ + kπ
, k ∈ Z}.
Remarque :Enphysique, on considère en général que r = OM , c’est-à-dire quer
est nécessairement positif.Nous verrons cependant qu’il est souvent pratique d’utiliser
des coordonnées polaires où rp eut être de signe quelconque.
On peut facilement exprimer les coordonnées cartésiennesd’un point en fonction
d’un couple de coordonnées polaires :
de
−−→
OM = r u(θ), on déduit x i + y j = r(cos θ i +sin θ j), d’où,d’après l’unicité
des coordonnées cartésiennes :
x = r cos θ
y = r sin θ
1.5 • Équation polaired’une droite
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x
O
D
y
u() 0
y 0
v () 0
Doc. 7 Représentation polaired’une
droite.
Soit D une droiteduplan. Notons θ 0 une mesure de l’angle que fait D avec
l’axe Ox (θ 0 est définià kπ près) (Doc. 7).
–Si D passe par l’origine, une équation polaire de D est: θ=θ 0 .
–Si D ne passe pas par O, elleapouréquation y = y 0 dans le repère polaire
(O,, u(θ 0 ),, v(θ 0 )), c’est-à-dire en coordonnéespolaires : r sin(θ − θ 0 ) = y 0 . Une
équation polairede D est donc :
r =
y 0
sin(θ − θ 0 )
c’est-à-dire, en posant α = −
sin θ 0
y 0
, β =
cos θ 0
y 0
:
r =
1
α cos θ + β sin θ
Réciproquement,toute équation polaire de ce type représente une droite ne passant
pas par l’origine (on peut retrouver y 0 et θ 0 àpartir de α et β).
1.6 • Équation polaire d’un cercle passant par l’origine
I
θ
y
O
x
M
Ω
θ 0
j
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i
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Doc.8 Représentation polaire d’un
cercle.
Soit C le cercle de centre Ω, de coordonnées polaires (θ 0 , R), quip asse par
l’origine (Doc. 8).
Soit M un pointquelconque de C , de coordonnées polaires (θ, r). Calculons
l’angle (
−→
O Ω ,
−−→
OM ):
(
−→
O Ω ,
−−→
OM ) = ( − → i ,
−−→
OM ) − ( − → i ,
−→
O Ω ) = θ − θ 0
Soit I le milieu de [OM ]; on adonc OI = R cos(θ − θ 0 ), et parconséquent
OM = 2R cos(θ − θ 0 ). Réciproquement, tout point M vérifiant cette relation
appartient au cercle C , qui adonc pour équation polaire :
r = 2R cos(θ − θ 0 )
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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