COURS 4
Géométrieélémentaire du plan
APPLICATION 1
Reconnaîtreunensemble de points
Le plan estr apporté àu nr epère (O,, i, j). Soit E
l’ensemble desp oints de coordonnées (x, y) tels que :
x
2
− xy − 2y
2
+4x−2y+4=0.
Reconnaître l’ensemble Eg râce àu nc hangement de
repère. Tracer E.
L’ensemble E coupe l’axe Ox en A(−2, 0), et l’axe
Oy en B(0, 1) et C (0, −2). Considérons le repère
R
= (A,
−→
AB,
−→
AC ), où :
−→
OA = −2 i,
−→
AB = 2 i + j
et
−→
AC = 2 i − 2 j. Pour tout point M du pland e
coordonnées (x, y)d ans le repère R et (x
, y
)d ans
le repère R
, on peut écrire:
x i+y j=−2 i+x
(2 i + j)+y
(2 i − 2 j)
x i + y j = (2x
+2y
−2) i +(x
−2y
) j
D’où, d’après l’unicité des coordonnées d’un point :
x = 2x
+2y
−2
y=x
−2y
L’équation de l’ensemble E dans le repère R
est
donc :
(2x
+2y
−2)
2
− (2x
+2y
−2)(x
− 2y
)
− 2(x
− 2y
)
2
+4(2x
+2y
−2) − 2(x
− 2y
)+4 = 0
ce qui équivaut à: 18x
y
= 0, c’est-à-dire x
= 0
ou y
= 0.
L’ensemble E est donc la réunion des droites( AB)
et (AC )( Doc. 4).
−3
−2
−1
0
1
2
−3
−2
−11
A
C
B
Doc. 4
1.4 • Repère polaire. Coordonnées polaires
!
!
!
!
i
O
j
u()
v ()
Doc. 5 Repère polaire.
Le plan étantorienté, soit R = (O,, i, j)u nrepère orthonormal direct. Pour tout
réel θ, on définitles vecteurs :
u(θ) = cos θ i +sin θ j
v(θ) = − sin θ i +cos θ j
Le repère (O,, u(θ),, v(θ)) est l’image du repère (O,, i, j)p ar la rotation de centre
O d’angle θ :i le st encore orthonormal direct. On l’appelle repère polaire
attachéauréel θ (Doc. 5).
Remarque :Enutilisant l’identification entre vecteurs et nombres complexes évoquée
plus haut,onpeut écrire : u(θ) = e
iθ
et v(θ) = i e
iθ
.
Pour tout point M du plan, il existe des réels r et θ tels que
−−→
OM = r u(θ). On
dit que (r, θ)e st un couple de coordonnées polaires du point M . On remarque
que | r| est la distance OM , et que θ est une mesure de l’angle ( i,
−−→
OM )m odulo
π (Doc. 6).
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