Géométrie élémentaire du plan
COURS
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de repères orthonormaux. Orienter le plan,c ’est choisir l’une des classes, dont
les éléments seront appelés repères orthonormaux directs,l es autres étant dits
rétrogrades (les rétrogrades, c’esttoujours les autres !).
+
j
!
i
!
Doc. 3 Sens trigonométrique.
Il n’existe aucunc ritère mathématique pour privilégier une orientation plutôt
qu’une autre ;cechoix ne peut être qu’arbitraire. En général, on convient de dire
que le repère (O,, i, j)e st direct si l’on tourne de i vers j dans le sens «trigonométrique », c’est-à-direlesens contraire des aiguilles d’une montre (Doc. 3).
(Qu’est-ce qu’une montre ?Qu’est-ce qui empêche de fabriquer une montre qui
tourne dans l’autre sens ?)
Le plan étant orienté, le choix d’un repère orthonormal direct permet d’identifier
le plan àl’ensemble des nombres complexes C :l epoint M (ou le vecteur u)
de coordonnées (x, y)e st représenté par le nombre complexe z = x + iy. Cette
identification permet de traitercertaines questions de géométrie plane àl’aide des
nombres complexes, ou inversementc ertaines questions portant sur les nombres
complexes par des méthodes géométriques.
1.3 • Changement de repère
Soit R = (O,, i, j)u npremier repère cartésien, et R
= (O
,, i
, j
)u nnouveau
repère,donné par :
−−→
OO
= a i + b j ; i
= α i + β j ; j
= γ i + δ j
Soit M un pointd up lan de coordonnées (x, y)d ans le repère R et (x
, y
)
dans le repère R
. On peut écrire :
−−→
OM =
−−→
OO
+
−−→
O
M
x i + y j = ( a i + b j )+x
i
+y
j
x i+y j = (a i+b j)+x
(α i+β j)+y
(γ i+δ j)
x i+y j = (a+αx
+γy
) i+(b+βx
+δy
) j
D’où, d’après l’unicité des coordonnées d’un point :
x = a + αx
+ γy
y = b + βx
+ δy
Ces formules sont appelées formules de changementd er epère. On remarque
qu’elles donnent les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles ;c’est bien
ainsi qu’on en abesoin, pour transformer par exemple l’équation cartésienne d’un
ensemble de points dans l’ancien repère en une équation dans le nouveau repère.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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de repères orthonormaux. Orienter le plan,c ’est choisir l’une des classes, dont
les éléments seront appelés repères orthonormaux directs,l es autres étant dits
rétrogrades (les rétrogrades, c’esttoujours les autres !).
+
j
!
i
!
Doc. 3 Sens trigonométrique.
Il n’existe aucunc ritère mathématique pour privilégier une orientation plutôt
qu’une autre ;cechoix ne peut être qu’arbitraire. En général, on convient de dire
que le repère (O,, i, j)e st direct si l’on tourne de i vers j dans le sens «trigonométrique », c’est-à-direlesens contraire des aiguilles d’une montre (Doc. 3).
(Qu’est-ce qu’une montre ?Qu’est-ce qui empêche de fabriquer une montre qui
tourne dans l’autre sens ?)
Le plan étant orienté, le choix d’un repère orthonormal direct permet d’identifier
le plan àl’ensemble des nombres complexes C :l epoint M (ou le vecteur u)
de coordonnées (x, y)e st représenté par le nombre complexe z = x + iy. Cette
identification permet de traitercertaines questions de géométrie plane àl’aide des
nombres complexes, ou inversementc ertaines questions portant sur les nombres
complexes par des méthodes géométriques.
1.3 • Changement de repère
Soit R = (O,, i, j)u npremier repère cartésien, et R
= (O
,, i
, j
)u nnouveau
repère,donné par :
−−→
OO
= a i + b j ; i
= α i + β j ; j
= γ i + δ j
Soit M un pointd up lan de coordonnées (x, y)d ans le repère R et (x
, y
)
dans le repère R
. On peut écrire :
−−→
OM =
−−→
OO
+
−−→
O
M
x i + y j = ( a i + b j )+x
i
+y
j
x i+y j = (a i+b j)+x
(α i+β j)+y
(γ i+δ j)
x i+y j = (a+αx
+γy
) i+(b+βx
+δy
) j
D’où, d’après l’unicité des coordonnées d’un point :
x = a + αx
+ γy
y = b + βx
+ δy
Ces formules sont appelées formules de changementd er epère. On remarque
qu’elles donnent les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles ;c’est bien
ainsi qu’on en abesoin, pour transformer par exemple l’équation cartésienne d’un
ensemble de points dans l’ancien repère en une équation dans le nouveau repère.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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