COURS 4
Géométrieélémentaire du plan
1 Modes de repéragedans le plan
1.1 • Repère cartésien
Un repère cartésien du plan estladonnée d’un point O appelé origine du repère
et de deuxvecteurs non colinéaires i et j, appelés vecteurs de base.Onnotele
repère (O,, i, j). Le couple ( i, j)e st une base de l’ensemble des vecteurs du plan.
y
O
x
u
j
i
u 2
!
!
!
!
u 1
!
Doc. 1 Décomposition d’un vecteur.
Les droites passant par O de vecteurs directeurs respectifs i et j sont appelées
axes du repère,etnotées (Ox)e t( Oy)( Doc. 1).
Étantdonné un vecteur u quelconque du plan, soit u 1 le projeté de u sur (Ox)
parallèlement à( Oy), et u 2 le projeté de u sur (Oy)p arallèlement à( Ox).
On a: u= u 1 + u 2 . Comme u 1 estcolinéaire à i et u 2 colinéaire à j, il existe
des réels x et y tels que:
u=x i+y j
Le couple (x, y)e st unique ;e ne ffet, supposons que : u = x i + y j = x
i + y
j ;
alors :( x− x
) i=( y
− y ) j;c omme i et j ne sont pas colinéaires, cette égalité
entraîne : x − x
= 0e ty
−y=0 ,c’est-à-dire x = x
et y = y
.
Les réels x et y sont appelés coordonnées de u dans la base ( i, j).
Étantd onné un point M quelconqued up lan, on appelle coordonnées de M
dans le repère (O,, i, j)l es coordonnées du vecteur
−−→
OM dans la base ( i, j):
−−→
OM = x i + y j
Remarque :Engéométrie plane, la méthode analytique consiste àexprimer toutes les
propriétés des points par des relations algébriquese ntre leurs coordonnées. Les calculs
peuvent être grandement facilités par le choixjudicieux d’un repère. Par exemple, dans
un problème portantsur un triangle (ABC), on pourra choisir le repère (A,
−→
AB,
−→
AC ).
Pour s’entraîner :ex. 2
1.2 • Repère orthonormal. Orientation
y
O
x
j
!
i
!
Doc. 2 Repère orthonormal.
Si les vecteurs de base du repère sont unitaires et orthogonaux,l er epère estd it
orthonormal (Doc. 2) :
i = 1; j = 1; i · j = 0
Remarque :Nous verrons plus loin que les coordonnées dans un repère orthonormal
permettent une expressionparticulièrement simple du produit scalaire de deux vecteurs
et de la norme d’un vecteur. En conséquence, on emploiera de préférence ce type de
repère dans toutes les questions faisantintervenir des distances et des angles.
Nous admettrons que deux repères orthonormaux sont toujours image l’un de
l’autre par un déplacement du plan (translationo ur otation), ou par un antidéplacement (composée d’unes ymétrie axiale et d’un déplacement). On dit que
les deux repères ont la même orientation s’il s’agit d’un déplacement, ou une
orientationc ontraire s’il s’agit d’un antidéplacement. Il yad onc deux classes
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Géométrieélémentaire du plan
1 Modes de repéragedans le plan
1.1 • Repère cartésien
Un repère cartésien du plan estladonnée d’un point O appelé origine du repère
et de deuxvecteurs non colinéaires i et j, appelés vecteurs de base.Onnotele
repère (O,, i, j). Le couple ( i, j)e st une base de l’ensemble des vecteurs du plan.
y
O
x
u
j
i
u 2
!
!
!
!
u 1
!
Doc. 1 Décomposition d’un vecteur.
Les droites passant par O de vecteurs directeurs respectifs i et j sont appelées
axes du repère,etnotées (Ox)e t( Oy)( Doc. 1).
Étantdonné un vecteur u quelconque du plan, soit u 1 le projeté de u sur (Ox)
parallèlement à( Oy), et u 2 le projeté de u sur (Oy)p arallèlement à( Ox).
On a: u= u 1 + u 2 . Comme u 1 estcolinéaire à i et u 2 colinéaire à j, il existe
des réels x et y tels que:
u=x i+y j
Le couple (x, y)e st unique ;e ne ffet, supposons que : u = x i + y j = x
i + y
j ;
alors :( x− x
) i=( y
− y ) j;c omme i et j ne sont pas colinéaires, cette égalité
entraîne : x − x
= 0e ty
−y=0 ,c’est-à-dire x = x
et y = y
.
Les réels x et y sont appelés coordonnées de u dans la base ( i, j).
Étantd onné un point M quelconqued up lan, on appelle coordonnées de M
dans le repère (O,, i, j)l es coordonnées du vecteur
−−→
OM dans la base ( i, j):
−−→
OM = x i + y j
Remarque :Engéométrie plane, la méthode analytique consiste àexprimer toutes les
propriétés des points par des relations algébriquese ntre leurs coordonnées. Les calculs
peuvent être grandement facilités par le choixjudicieux d’un repère. Par exemple, dans
un problème portantsur un triangle (ABC), on pourra choisir le repère (A,
−→
AB,
−→
AC ).
Pour s’entraîner :ex. 2
1.2 • Repère orthonormal. Orientation
y
O
x
j
!
i
!
Doc. 2 Repère orthonormal.
Si les vecteurs de base du repère sont unitaires et orthogonaux,l er epère estd it
orthonormal (Doc. 2) :
i = 1; j = 1; i · j = 0
Remarque :Nous verrons plus loin que les coordonnées dans un repère orthonormal
permettent une expressionparticulièrement simple du produit scalaire de deux vecteurs
et de la norme d’un vecteur. En conséquence, on emploiera de préférence ce type de
repère dans toutes les questions faisantintervenir des distances et des angles.
Nous admettrons que deux repères orthonormaux sont toujours image l’un de
l’autre par un déplacement du plan (translationo ur otation), ou par un antidéplacement (composée d’unes ymétrie axiale et d’un déplacement). On dit que
les deux repères ont la même orientation s’il s’agit d’un déplacement, ou une
orientationc ontraire s’il s’agit d’un antidéplacement. Il yad onc deux classes
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