Équations différentielles linéaires
2 En déduireles fonctions x 1 (t) et x 2 (t) avec les conditions initiales :
x 1 (0) = 0; x
1 (0) = 0; x 2 (0) = 1; x
2 (0) = 0
Ces fonctions sont-elles périodiques ?
Conseils
Solution
Effectuer des combinaisons linéaires des
deux équations du système.
1) En retranchant puis en ajoutant membre àmembre les deux équations
du système, on obtient :
2y
(t) = −3x 1 (t)+3x 2 (t)=−6y(t)
2z
(t) = −x 1 (t) − x 2 (t) = −2z(t)
La fonction y est donc solution de l’équation différentielle y
+3y=0,
et la fonction z est solution de z
+ z = 0. Il existe donc des constantes
A 1 , A 2 , B 1 , B 2 telles que:
y(t)=A 1 cos
√
3t + A 2 sin
√ 3t
z(t) = B 1 cos t + B 2 sin t
On peut exprimer x 1 et x 2 comme
combinaisons linéaires de y et z.
2) On en déduit :
x 1 (t) = y(t)+z(t)
=A 1 cos
√ 3t + A 2 sin
√ 3t + B 1 cos t + B 2 sin t
x 2 (t) = −y(t)+z(t)
=−A 1 cos
√ 3t − A 2 sin
√ 3t + B 1 cos t + B 2 sin t
Les conditions initialespermettent de déterminer les constantes A 1 , A 2 ,
B 1 , B 2 :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 1 (0) = 0
x
1 (0) = 0
x 2 (0) = 1
x
2 (0) = 0
⇐⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
A 1 + B 1 = 0
√ 3 A 2 + B 2 = 0
− A 1 + B 1 = 1
−
√ 3 A 2 + B 2 = 0
⇐⇒
( A 1 , A 2 , B 1 , B 2 ) =
1
2
, 0 ,
1
2
, 0
D’où en définitive :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x 1 (t) = −
1
2
cos
√ 3t +
1
2
cos t
x 2 (t) =
1
2
cos
√ 3t +
1
2
cos t
Les périodes des fonctions y et z n’ont
pasdemultiple commun, ce qui permet
de supposer que x 1 et x 2 ne sont pas périodiques. Le démontrerrigoureusement
en raisonnant par l’absurde.
Ces fonctions sont combinaisons linéaires de fonctions périodiques de
périodes respectives
2π
√
3
et 2π, dont le quotient estirrationnel. Montrons
que les fonctions x 1 et x 2 ne sont pas périodiques. Supposons qu’il existe
un réel nonnul T tel que pour tout x ∈ R,
x 1 (t + T ) = x 1 (t), c’est-à-dire :
− cos
√ 3(t + T )+cos(t + T ) = − cos
√ 3t +cos t
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