Équations différentielles linéaires
– uneracine réelle double λ 0 , la solution générale de l’équation différentielle est :
y = C 1 e
λ0t
+ C 2 t e
λ0t
– deux racines complexes conjuguées α + iβ et α − iβ, la solution générale de l’équation différentielle est :
y = e
αt
(C 1 cos βt + C 2 sin βt)
• avec second membre de la forme P(t)e
mt
, où P estu np olynôme et m ∈ C, on ajoute une solution
particulière y 1 et la solution générale de l’équation sans second membre :
y(t) = y 1 (t)+C 1 e
λ 1 t
+C 2 e
λ 2 t
La solution particulière y 1 sera cherchée sous la forme y 1 (t) = Q(t)e
mt
, où Q estunpolynôme :
– de mêmedegré que P si m n’est pas racine de l’équation caractéristique ;
– de degréd eg P +1 si m est racine simple de l’équationcaractéristique ;
– de degréd eg P +2 si m estracine double de l’équation caractéristique.
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Exercice résolu
SYSTÈMEDIFFÉRENTIEL
Deux masses identiquessont reliées àdeux points fixes et entre elles, par trois ressorts de même raideur.
m 2
m 1
x 2
x 1
On admet quel es abscisses x 1 et x 2 des deux masses, repérées par rapport àl eur position d’équilibre respective, sont, en
fonction du temps t, solutions du système différentiel:
x
1 (t) = −2x 1 (t)+x 2 (t)
x
2 (t) = x 1 (t) − 2x 2 (t)
(des unités convenables ayant été choisies).
1 On pose :
y(t) =
x 1 (t) − x 2 (t)
2
et z(t) =
x 1 (t)+x 2 (t)
2
Établir uneéquation différentielle vérifiée par y(t) et une équation différentielle vérifiée par z(t). Résoudre ces équations
différentielles.
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