Équations différentielles linéaires
Représentons graphiquementlasolution avec la TI Voyage
200.
La solution générale de l’équation est donc :
y =
1
5
cos t +
1
10
sin t +e
− t
(C 1 cos 2t + C 2 sin 2t)
On obtient:
y(0) =
1
5
+ C 1 et y
(0) =
1
10
− C 1 +2C 2 .
La condition initiale est vérifiée pour C 1 =
4
5
et C 2 =
7
20
.
D’oùendéfinitive :
y =
1
5
cos t +
1
10
sin t +e
− t
4
5
cos 2t +
7
20
sin 2t
On observeq ue le deuxième terme, majoré en valeur absolue par e
−t
, devient
très vite très petit ;àpartir de t = 3, la solution estquasiment confondue avec la
solution particulière y 1 =
1
5
cos t +
1
10
sin t, périodique de période 2π :c ’est le
régime permanent.Sur l’intervalle [0, 3], la solution estplus chaotique :c’est le
régime transitoire.
Pours’entraîner :ex. 7à9
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour résoudre uneéquation différentielle linéaire du premier ordre :
• sans second membre y
+ a(t)y = 0, on calcule une primitive A de la fonction a ;l ’ensemble des solutions
est:
y(t)=Ce
− A ( t)
• avec second membre y
+ a(t)y = b(t), on ajoute une solution particulière y 1 et la solution généraled e
l’équation sans second membre :
y(t) = y 1 (t)+Ce
− A ( t)
Pour obtenir la solution particulière y 1 , on peut :
– chercher une solution évidente ;
– utiliser la méthode de la variation de la constante, c’est-à-dire chercher une solution de la forme
y 1 (t) = C (t)e
−A(t)
.
Pour résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre àcoefficients constants :
• sans second membre ay
+ by
+ cy = 0, on résout l’équationc aractéristique aλ
2
+ bλ + c = 0; si cette
équation possède:
– deux racines réelles λ 1 et λ 2 , la solution générale de l’équation différentielle est :
y = C 1 e
λ1t
+ C 2 e
λ2t
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