Équations différentielles linéaires
COURS
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3.4 • Conditionsinitiales
Théorème 4
L’équation différentielle ay
+ by
+cy=d(t)p ossède une solution et une seule
vérifiantlacondition initiale : y(t 0 ) = y 0 ; y
(t 0 ) = y
0 .
Démonstration
Reprenons lesdeux cas qui se présentent dans la résolution dans C de l’équation
sans second membre :
1) Δ = 0. La solution générale estdelaforme :
y = y 1 + C 1 e
λ1t
+ C 2 e
λ2t
On cherchedes constantes C 1 et C 2 vérifiant :
C 1 e
λ1t0
+ C 2 e
λ2t0
= y 0 − y 1 (t 0 )
C 1 λ 1 e
λ1t0
+ C 2 λ 2 e
λ2t0
= y
0 − y
1 (t 0 )
Il s’agit d’un système linéairededeux équations àdeux inconnues. Son déterminant
est:
D=
e
λ 1 t 0
e
λ 2 t 0
λ 1 e
λ 1 t 0
λ 2 e
λ 2 t 0
=(λ 2 −λ 1 )e
(λ1+λ2)t0
= 0
Le systèmeadmet donc une solution unique.
2) Δ = 0. La solution générale estdelaforme :
y = y 1 + C 1 t e
λ0t
+ C 2 e
λ0t
Le systèmedevient :
C 1 t 0 e
λ0t0
+ C 2 e
λ0t0
= y 0 − y 1 (t 0 )
C 1 (1 + λ 0 t 0 )e
λ0t0
+ C 2 λ 0 e
λ0t0
= y
0 − y
1 (t 0 )
Son déterminant est : D =
t 0 e
λ0t0
e
λ0t0
(1 + λ 0 t 0 )e
λ0t0
λ 0 e
λ0t0
= −e
2λ0t0
= 0
Le systèmeaencore une solution unique.
Exemple :Résoudre l’équation différentielle y
+2y
+5y = cos t, avec la condition
initiale y(0) = 1, y
(0) = 0.
L’équation caractéristique est : λ
2
+2λ+5=0. Elle adeux solutions complexes
conjuguées: −1+2i et −1 − 2i. La solution générale de l’équation sans second
membre s’écrit : y = e
−t
(C 1 cos 2t + C 2 sin2t).
On cherche une solution particulière y 1 de la formeR e( Q ( t )e
it
), où Q est
un polynôme complexe constant, c’est-à-dire : y 1 = a cos t + b sin t avec a et b
réels.
y 1 = a cos t + b sin t
y
1 = −a sin t + b cos t
y
1 = −a cos t − b sin t
d’où :
y
1 +2y
1 +5y 1 =(4a +2b)cos t +(−2a+4b)sin t.
y 1 vérifiel’équation différentielle si et seulement si
4a +2b=1
−2a+4b=0
,
c’est-à-dire a =
1
5
, b =
1
10
: y 1 =
1
5
cos t +
1
10
sin t.
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