COURS 3
Équations différentielles linéaires
APPLICATION 2
Oscillateuramorti
On rencontrefréquemment en physique des systèmes obéissant àune équation différentielle du type :
y
+2ky
+ ω
2
0 y = e
iωt
où (k, ω 0 , ω) ∈ R
∗
+
3
Ici, la variable tr eprésente le temps ; ω 0 est la pulsation
propre du système, ω est la pulsation de la sollicitation
extérieure et ke st le coefficient d’amortissement.
On ne s’intéressera pas àl as olution de l’équation sans
second membre, qui comporte un facteur en e
−kt
, et qui
tend donc rapidement vers 0quand tt end vers +∞ (c’est
ce qu’on appellelerégime transitoire). Il existe unesolution particulièred el af orme ae
iωt
(a ∈ C) (régime
permanent), et on veut étudier le module et l’argument
de a, quireprésentent l’amplitude et le déphasage de la
«réponse »dusystème.
y = ae
iωt
y
= aiωe
iωt
y
= −aω
2
e
iωt
y est solution de l’équation différentielle si et seulementsi:
−aω
2
+2aiωk + aω
2
0 = 1
c’est-à-dire :
a =
1
ω 2
0 − ω 2 +2iωk
Si on pose a = Ae
iϕ
A =
1
(ω 2
0 − ω 2 ) 2 +4ω 2 k 2
et
tan ϕ =
2ωk
ω 2 − ω 2
0
Les courbes suivantes (Doc. 10 et Doc. 11) représentent
les variationsd e A et ϕ en fonction de ω 0 pour
ω = 2e tdiverses valeurs du coefficient d’amortissement k. On observep our ω 0 = ω un maximum
de l’amplitude A, qui correspond au phénomène de
résonance.C em aximum est d’autant plus élevé que
k est faible.
0,2 0,2
0,1
0,3
0,4
0,5
A
01
2
ω
0
ω
345
k = ½
k = 1
k = 2
k = 3
Doc. 10
0
1
1
2
3
1,5
0,5
2,5
23450 ω
ϕ
ω ω
π /2
π/2
Doc. 11
66