Équations différentielles linéaires
COURS
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2) y
+ y = cos t
L’équationsans second membre est la même. Le second membre est la partie réelle
de e
it
. Cherchons une solution particulière complexe de la forme y = Q(t)e
it
,
dont on calculera ensuite la partie réelle.
y = Q(t)e
it
y
= [Q
(t)+iQ(t)] e
it
y
= [Q
(t)+2iQ
(t) − Q(t)] e
it
y
+ y = [Q
(t)+2iQ
(t)] e
it
= e
it
m = i étant racine simple de l’équation caractéristique, on cherche Q tel que
deg Q = deg P +1=1:
Posons
Q(t) = at + b ; Q
(t) = a ; Q
(t) = 0.
On obtient :
2ia = 1 , soit a = −
i
2
.
Une solutionparticulière complexe estdonc :
y = −
i
2
t e
it
=
t
2
sin t −
it
2
cos t
La solution générale réelle est:
y=
t
2
sin t + C 1 cos t + C 2 sin t
Remarque :Onachoisi b = 0 pour obtenir une solution particulière. On aurait pu
choisir pour bu ne valeur quelconque, que l’on retrouve dans la constante C 2 .
3) y
+2y
+y=e
− t
L’équation caractéristique est λ
2
+2λ+1 = 0; elle admet une racine double −1.
La solution générale de l’équation sans second membre est y = (C 1 t + C 2 )e
−t
.
Cherchons une solution particulière de la forme y = Q(t)e
−t
.
y = Q(t)e
−t
y
= [Q
(t)−Q(t)]e
−t
y
= [Q
(t) − 2Q
(t)+Q(t)]e
−t
D’où :
y
+2y
+y=Q
(t)e
−t
= e
−t
.
m = −1é tant racine double de l’équation caractéristique, on
cherche Q telq ue deg Q = deg P +2 = 2. Q
(t) = 1o n
peut choisir :
Q
(t) = tQ ( t ) =
t
2
2
Une solution particulière de l’équation différentielle est donc :
y =
t
2
2
e
−t
.
La solution générale est:
y=
t
2
2
e
− t
+(C 1 t+C 2 )e
−t
=
t
2
2
+ C 1 t + C 2
e
−t
Remarque :Ici encore, on achoisi nuls les coefficients de degré 1et0du polynômeQ .
On aurait pu choisir un couple quelconque (C 1 , C 2 ).
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