COURS 3
Équations différentielles linéaires
Nous savons quelasolution générale de (1) est la somme d’une solution particulière
et de la solution générale de l’équation sans second membre (2),que nous avons
étudiéedans le paragraphe précédent.
L’idée est de chercher une solution particulière de la mêmef orme que le second
membre, c’est-à-dire y = Q(t)e
mt
, où Q est un polynôme àdéterminer.
y = Q(t)e
mt
y
= [Q
(t)+mQ(t)]e
mt
y
= [Q
(t)+2mQ
(t)+m
2
Q(t)]e
mt
D’où :
ay
+ by
+cy=[aQ
(t)+(2am + b)Q
(t)+(am
2
+ bm + c)Q(t)]e
mt
.
y estsolution de l’équation (1) si et seulement si :
aQ
(t)+(2am + b)Q
(t)+(am
2
+ bm + c)Q(t) = P(t)
• Si am
2
+ bm + c = 0, on chercheraàl’aide de coefficients indéterminés un
polynôme Q de même degré que P.
• Si
am
2
+ bm + c = 0
2am + b = 0
(c’est-à-diresi m est une racine simple de l’équation
caractéristique), on devra chercher un polynôme Q de degréd eg(P)+1
vérifiant :
aQ
(t)+(2am + b)Q
(t) = P(t).
• Si
am
2
+ bm + c = 0
2am + b = 0
(c’est-à-diresi m est racine double de l’équation caractéristique), on devra chercher un polynôme Q de degréd eg(P)+2 vérifiant
aQ
(t) = P(t)( on l’obtient dans ce cas par deux intégrations successives).
Exemple :
1) y
+ y = t e
t
L’équation caractéristique est λ
2
+1=0. La solution générale de l’équation sans
second membre est y = C 1 cos t + C 2 sin t.
On cherche une solution particulière de la forme y = Q(t)e
t
,
y
= [Q
(t)+Q(t)] e
t
y
= [Q
(t)+2Q
(t)+Q(t)] e
t
y
+ y = [Q
(t)+2Q
(t)+2Q(t)] e
t
= t e
t
Comme m = 1n ’est pas racine de l’équation caractéristique,
on cherche Q telque deg Q = deg P = 1:
Posons
Q(t) = at + b ; Q
(t) = a ; Q
(t) = 0.
On doit avoir :
2a +2(at + b) = t
soit :
a =
1
2
; b = −
1
2
En définitive :
y =
1
2
t −
1
2
e
t
+ C 1 cos t + C 2 sin t où (C 1 , C 2 ) ∈ R
2
.
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