Équations différentielles linéaires
COURS
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• Si Δ < 0, les racines λ 1 et λ 2 de l’équation caractéristique sont non réelles
et conjuguées l’une de l’autre. Écrivons-les: λ 1 =α+iβ et λ 2 = α − iβ avec
(α, β) ∈ R
2
. Une solutionréelle de l’équation (2) est de la forme :
y = K 1 e
(α+iβ)t
+ K 2 e
(α−iβ)t
avec K 2 = K 1
C’est-à-dire :
y = e
αt
K 1 (cos βt + i sin βt)+K 1 (cos βt − i sin βt)
soit :
y = e
αt
(K 1 + K 1 )cos βt + i(K 1 − K 1 )sin βt
Lesconstantes C 1 = K 1 + K 1 et C 2 = i(K 1 − K 1 )s ont réelles. D’où :
y = e
αt
(C 1 cos βt + C 2 sin βt) (C 1 , C 2 ) ∈ R
2
L’ensemble des solutions réelles de l’équation (2) est l’ensemble des combinaisons
linéaires àcoefficients réels des fonctions y 1 = e
αt
cos βt et y 2 = e
αt
sin βt.
En résumé,l ’ensemble E des solutions réelles de l’équation (2) est dans tous
les cas l’ensembled es combinaisons linéaires de deux solutions y 1 et y 2 , non
proportionnelles.Cette structure fait penser àcelle de l’ensemble des vecteurs d’un
plan, combinaisons linéaires de deux vecteurs de base non colinéaires. On dit que
E est un espace vectoriel de dimension 2, et que (y 1 , y 2 )e st une base de E (voir
le chapitre21:Dimension des espaces vectoriels).
Tableau récapitulatif :
Δ = b
2
− 4ac
racines
base
solution générale
Δ > 0
λ 1
= λ 2
(e
λ1t
, e
λ2t
)
C 1 e
λ1t
+ C 2 e
λ2t
Δ = 0
λ 0
(t e
λ0t
, e
λ0t
)
e
λ0t
(C 1 t + C 2 )
Δ < 0
α + iβ , α − iβ (e
αt
cos βt , e
αt
sin βt) e
αt
(C 1 cos βt + C 2 sin βt)
(α, β) ∈ R
2
3.3 • Résolution de l’équation avec second membre
de la forme P(t)e
mt
Nous chercheronsàrésoudre l’équation complète uniquement lorsque le second
membre est de la forme P(t)e
mt
où P estu np olynôme et m un complexe
donné.
ay
+ by
+cy=P(t)e
mt
(1)
Remarque :Leprincipe de superposition s’applique encore, c’est-à-dire quesilesecond
membre est la sommed ed eux fonctions de ce type, il suffira d’ajouter les solutions
correspondantes.
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