COURS 3
Équations différentielles linéaires
Pour résoudre cette équation du second degré, on calcules on discriminant :
Δ = b
2
− 4ac. Distinguonsdeux cas :
• Si Δ
= 0, l’équation caractéristique adeux racines complexes distinctes λ 1 et
λ 2 . Les fonctions y 1 = e
λ1t
et y 2 = e
λ2t
sont solutions de l’équation (2).Toute
combinaisonl inéaire de ces deux fonctions àc oefficients complexes este ncore
solution.
Réciproquement, soit y une solution quelconque de l’équation (2),p osons
y = z e
λ1t
. La fonction z estdeux fois dérivable sur R et :
y
= (z
+ λ 1 z)e
λ1t
et y
= (z
+2λ 1 z
+λ
2
1 z)e
λ1t
ay
+ by
+cy=
az
+(2aλ 1 +b)z
+(aλ
2
1 +bλ 1 +c)z
e
λ 1 t
=0
Or
2aλ 1 + b = a(λ 1 − λ 2 )e ta λ
2
1 + b λ 1 + c = 0
D’où :
z
+(λ 1 −λ 2 )z
=0
C’est une équation différentielle linéaire du premier ordre en z
. On ad onc
successivement :
z
= K e
(λ2−λ1)t
z = C 2 e
(λ2−λ1)t
+ C 1
y = C 1 e
λ1t
+ C 2 e
λ2t
(C 1 , C 2 ) ∈ C
2
L’ensembledes solutions de l’équation (2) est donc l’ensemble des combinaisons
linéaires àcoefficients complexes des deux fonctions exponentielles y 1 = e
λ1t
et
y 2 = e
λ2t
.
• Si Δ = 0, l’équation caractéristiqueaune racine double λ 0 = −
b
2a
. La
fonction y 0 = e
λ0t
est solutiondel’équation (2).Soit y unefonction deux fois
dérivable sur R, et z la fonction définie par y = z e
λ0t
. Le calcul précédent
montre que y est solution de l’équation (2) si et seulementsi z
= 0, c’est-à-dire
z = C 1 t + C 2 . L’ensemble des solutions de (2) est l’ensemble des fonctions de la
forme:
y=(C 1 t+C 2 )e
λ 0 t
(C 1 ,C 2 )∈C
2
3.2• Solutions réelles quand (a, b, c) ∈ R
3
Si les coefficients de l’équation différentielle sont réels et que l’on cherche les
solutionsréelles, on est amené àdistinguer trois cas :
• Si Δ > 0, les racines λ 1 et λ 2 de l’équation caractéristique sont réelles.
L’ensemble des solutions réelles de l’équation (2) est l’ensemble des combinaisons
linéaires àcoefficients réels des fonctions exponentielles y 1 = e
λ1t
et y 2 = e
λ2t
.
y = C 1 e
λ1t
+ C 2 e
λ2t
(C 1 , C 2 ) ∈ R
2
• Si Δ = 0, la racine double λ 0 de l’équation caractéristique est réelle. L’ensemble des solutions réelles de l’équation (2) est l’ensemble des combinaisons
linéaires àcoefficients réels des fonctions y 0 = e
λ0t
et ty 0 = te
λ0t
.
y = (C 1 t + C 2 ) e
λ0t
(C 1 , C 2 ) ∈ R
2
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Équations différentielles linéaires
Pour résoudre cette équation du second degré, on calcules on discriminant :
Δ = b
2
− 4ac. Distinguonsdeux cas :
• Si Δ
= 0, l’équation caractéristique adeux racines complexes distinctes λ 1 et
λ 2 . Les fonctions y 1 = e
λ1t
et y 2 = e
λ2t
sont solutions de l’équation (2).Toute
combinaisonl inéaire de ces deux fonctions àc oefficients complexes este ncore
solution.
Réciproquement, soit y une solution quelconque de l’équation (2),p osons
y = z e
λ1t
. La fonction z estdeux fois dérivable sur R et :
y
= (z
+ λ 1 z)e
λ1t
et y
= (z
+2λ 1 z
+λ
2
1 z)e
λ1t
ay
+ by
+cy=
az
+(2aλ 1 +b)z
+(aλ
2
1 +bλ 1 +c)z
e
λ 1 t
=0
Or
2aλ 1 + b = a(λ 1 − λ 2 )e ta λ
2
1 + b λ 1 + c = 0
D’où :
z
+(λ 1 −λ 2 )z
=0
C’est une équation différentielle linéaire du premier ordre en z
. On ad onc
successivement :
z
= K e
(λ2−λ1)t
z = C 2 e
(λ2−λ1)t
+ C 1
y = C 1 e
λ1t
+ C 2 e
λ2t
(C 1 , C 2 ) ∈ C
2
L’ensembledes solutions de l’équation (2) est donc l’ensemble des combinaisons
linéaires àcoefficients complexes des deux fonctions exponentielles y 1 = e
λ1t
et
y 2 = e
λ2t
.
• Si Δ = 0, l’équation caractéristiqueaune racine double λ 0 = −
b
2a
. La
fonction y 0 = e
λ0t
est solutiondel’équation (2).Soit y unefonction deux fois
dérivable sur R, et z la fonction définie par y = z e
λ0t
. Le calcul précédent
montre que y est solution de l’équation (2) si et seulementsi z
= 0, c’est-à-dire
z = C 1 t + C 2 . L’ensemble des solutions de (2) est l’ensemble des fonctions de la
forme:
y=(C 1 t+C 2 )e
λ 0 t
(C 1 ,C 2 )∈C
2
3.2• Solutions réelles quand (a, b, c) ∈ R
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Si les coefficients de l’équation différentielle sont réels et que l’on cherche les
solutionsréelles, on est amené àdistinguer trois cas :
• Si Δ > 0, les racines λ 1 et λ 2 de l’équation caractéristique sont réelles.
L’ensemble des solutions réelles de l’équation (2) est l’ensemble des combinaisons
linéaires àcoefficients réels des fonctions exponentielles y 1 = e
λ1t
et y 2 = e
λ2t
.
y = C 1 e
λ1t
+ C 2 e
λ2t
(C 1 , C 2 ) ∈ R
2
• Si Δ = 0, la racine double λ 0 de l’équation caractéristique est réelle. L’ensemble des solutions réelles de l’équation (2) est l’ensemble des combinaisons
linéaires àcoefficients réels des fonctions y 0 = e
λ0t
et ty 0 = te
λ0t
.
y = (C 1 t + C 2 ) e
λ0t
(C 1 , C 2 ) ∈ R
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