Équations différentielles linéaires
COURS
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SurlaTI92+/Voyage 200, le tracé d’une solution utilise précisément la méthode d’Euler, ou une variante
plus sophistiquée :l am éthode de Runge-Kutta. Le
pas estdonné dans la variable tstep.
3 Équationslinéaires du second ordre à
coefficients constants
L’équation différentielle :
ay
+ by
+cy=d(t)
(1)
où a, b, c sont des constantes, réelles ou complexes (a = 0), et d une
fonction continue de R dans C,e st appelée équation différentielle linéaire du
second ordre àcoefficients constants.
3.1 • Structuredes solutions
Théorème 3
La solution générale de l’équation différentielle linéaire du second ordre:
ay
+ by
+cy=d(t)
(1)
est la somme d’une solution particulière de (1) et de la solution générale de
l’équation sans second membre associée :
ay
+ by
+cy=0
(2)
La démonstrationest exactement la même que pour le premier ordre.
3.2 • Résolution de l’équation sans second membre
ay
+ by
+cy=0
(2)
3.1 • Solutions complexes
Cherchonsdes solutions complexes exponentielles : y = e
λt
où λ ∈ C.
On aalors : y
= λe
λt
et y
= λ
2
e
λt
. D’où :
ay
+ by
+cy=(aλ
2
+bλ+c)e
λt
Donc y = e
λt
est solutiondel’équation (2) si et seulementsi:
aλ
2
+bλ+c=0( équation caractéristique)
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