COURS 3
Équations différentielles linéaires
Remarque :Enprincipe, plus le pas est petit, plus la méthode est précise. Cependant,
si le pas est choisi trop petit, le nombre d’itérations pour atteindreunpoint fixé est très
grand et leserreurs d’arrondi accumulées peuvent nuire àlaprécision. Plusieurs essais
seront parfois nécessaires pour choisir un pasraisonnable.
APPLICATION 1
Miseenœuvre de la méthode d’Euler avec MAPLE
Reprenons l’exemple précédent :
y
+ y = e
−t
cos10t
avec la condition initiale y(0) = 0, dontonconnaît
la solution exacte.
La procédure suivante trace l’approximation d’Euler
pour l’équation différentielle y
= f (t, y), avec le pas
h, la conditioni nitiale y(t 0 ) = y 0 , jusqu’à la valeur
t 1 :
>E uler :=proc(f,h,t0,y0,t1)
>l ocal t,y,s ;
>s: =NULL ;
>y: =y0 ;
>f or tf rom t0 to t1 by hd o
>s: =s,[t,y] ;
>y: =y+h*f(t,y) ;
>o d;
>p lot([s],t0..t1) ;
>e nd ;
Appliquons cetteprocédure ànotre équation, avec un
pas h = 0.1:
>f: =(t,y)->-y+exp(-t)*cos(10*t) ;
>p 1: =Euler(f,0.1,0,0,2) :
>p 2: =plot(t->exp(-t)*sin(10*t)/10,0..2) :
>w ith(plots) :
>d isplay(p1,p2) ;
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.5
11 .5
2
Doc. 7
Les erreurs sont importantes ;lasolution approchée est
en retard par rapport àlasolution exacte qu’elle «rattrape »parfois àlafaveur des changements de concavité
(Doc.7).
Recommençonsavec un pas h = 0.02 (Doc. 8) :
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.5
11 .5
2
Doc. 8
Puis avec un pas h = 0.01 (Doc. 9) :
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.5
11 .5
2
Doc. 9
La réduction du pas améliore considérablementlaprécision.
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