Équations différentielles linéaires
COURS
3
Sur la calculatrice, il suffit d’introduire la condition initiale :
yi1 = 0.
La solution générale de l’équation donnée estdonc :
y(t) =
1
10
sin10t +C
e
−t
La condition initiale impose C = 0, d’où :
y(t) =
1
10
e
−t
sin 10 t
Représentons cette fonction sur la figure précédente (Doc.4):
− 0 . 0 5
0
0 . 0 5
0 . 1
0 .5
1
1.5
2
Doc. 4
Leonhard Euler, 1707-1783, qui alaissé
une œuvre gigantesque en arithmétique,
géométrieetanalyse
On vérifiequ’en tout point, la tangente àlacourbe solution estbien celle qui est
déterminée par l’équation différentielle.
2.3 • Méthoded’Euler
y
t
t 1
t 2
t 3
t 4
t 0
Doc. 5
L’étudeprécédente donne l’idée d’une méthode très simple de résolution approchée, qui est due àLeonhard Euler (vers 1750).
La méthode consisteàpartir de t = t 0 , et àa vancer pas àp as, en évaluant la
solution aux points t k = t 0 + kh, pour k ∈ N (Doc. 5).
y
t
t k
t k+1
y k
y k+1
Doc. 6
Si le pas h est suffisamment petit, on peut considérer que y(t k+1 )e st approximativement égal à y(t k )+hy
(t k ), soit en tenant compte de l’équation différentielle à
y(t k )+hf(t k ,y(t k )). Cecirevient àconfondre sur l’intervalle [t k , t k+1 ]l acourbe
et sa tangente (Doc. 6).Posons donc, pour tout k ∈ N :
y k+1 = y k + hf(t k ,y k )
La ligne polygonale joignant les points (t k , y k )s era une approximation de la
courbe représentative de la solution.
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