COURS 3
Équations différentielles linéaires
2.2 • Interprétation graphique d’une équation
différentielle du premier ordre
La calculatrice TI-92+/Voyage 200p ermet aussi cette représentation,dans le MODE DIFF EQUATIONS.
Considéronsu ne équation différentielle (linéaire ou non) qui
peut s’écrire sous la forme y
= f (t, y), où f est une fonction
de R
2
dans R.
Graphiquement, ceci signifie qu’en tout point (t, y)d up lan,
l’équation différentielle indique la pente de la tangente de toute
courbe solution passant par ce point.
Le logiciel Maple permet de visualiser ce «champ de pentes »:
soit par exemple l’équation différentielle y
= −y +e
− t
cos 10 t
(Doc.3);
>f :=(t,y)->-y+exp(-t)*cos(10*t) ;
>d fieldplot(diff(y(t),t)
=f(t,y(t)),y(t),t=0..2,y=-0.07..0.1) ;
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.5
11 .5
2
Doc. 3
Sous certaines conditions( qui sont réalisées en particulier pour les équations
linéaires), une condition initiale y(t 0 ) = y 0 détermine une solution unique. On
peut imaginer qu’on lâche un bouchon dans le courant figuré ci-dessus, et que
l’équation différentielle permet de prévoir la trajectoire du bouchon.
Dans notreexemple, nous savons calculer la solution vérifiant la condition initiale
y(0) = 0:
La solution générale de l’équation sans second membre y
+ y = 0e st :
y(t) = C e
−t
La méthodedevariation de la constante donne : C
(t) = cos 10 t, d’où :
C (t) =
1
10
sin 10 t
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