Équations différentielles linéaires
COURS
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− π
2 −3π/2
−π/2
−π
π/2
π3 π/2 2π
Doc.2.
2 Résolution approchée
2.1 • Expression dessolutions sous forme intégrale
La méthodederésolution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre
fait appel àdeux reprises àune recherche de primitives :
–d ans la résolution de l’équation sans second membre y
+ a(t)y = 0, où l’on
cherche A(t) =
a(t)dt;
–dans la détermination d’une solution particulière par la méthode de variation de
la constante, où l’on cherche C (t) =
b(t)e
A(t)
dt.
Il arrive souvent qu’on ne puisse exprimer explicitement ces primitives,etque les
solutions fassent intervenir des intégrales qu’on ne sait pas calculer.
Exemple :Considérons l’équation : y
− e
−t
2 y = 1e tl ac ondition initiale
y(0) = 0.
La solution générale de l’équationsans second membre est :
y = C exp
t
0
e
−u
2 du
Par la méthode de variation de la constante, cherchons une solution particulière
de la forme:
y=C(t)e xp
t
0
e
−u
2 du
On obtient :
C
(t) = exp
−
t
0
e
−u
2 du
d’où :
C (t) =
exp
−
t
0
e
−u
2 du
dt
et enfin :
y(t) = exp
t
0
e
−u
2 du
exp
−
t
0
e
−u
2 du
dt
La condition initiale détermine une solution unique :
y(t) = exp
t
0
e
−u
2 du
t
0
exp
−
v
0
e
−u
2 du
dv
Il est clair que de telles solutions sont peu exploitables. C’est pourquoi il est
intéressant de disposer de méthodes de résolution approchée, qui faute de donner
la solution exacte en donneront une approximationaussi précise que l’on veut.
Pour s’entraîner:ex. 5
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