COURS 3
Équations différentielles linéaires
1.5 • Condition initiale
y
O
y 0
t 0
t
Doc.1 Solution déterminée par une
conditioninitiale
La solution d’uneéquation différentielle linéaire du premier ordre dépend d’une
constante.
y(t) = y 1 (t)+Ce
− A ( t)
Pour déterminer cette constante, il suffit de connaître une condition initiale,
c’est-à-direlavaleur de la fonction en un point donné : y(t 0 ) = y 0 (Doc. 1).
On doit avoir: y 0 =y 1 (t 0 )+Ce
− A ( t 0 )
, d’où : C = (y 0 − y 1 (t 0 ))e
A(t0)
.
D’où le résultat :
Théorème 2
Soit l’équation différentielle y
+ a(t)y = b(t). Une condition initiale de la forme
y(t 0 ) = y 0 détermine une solution et une seule.
Remarque :Sil’équation est de la forme :
a(t)y
+ b(t)y = c(t),
la condition initiale doit être choisie telle que a(t 0 )
= 0; l’existence
et l’unicité de la solution sont garanties dans tout intervalle contenant
t 0 sur lequel la fonction an es’annule pas, mais pas nécessairement
sur uneréunion de tels intervalles.
Exemple :Étudier l’ensemble des solutions de l’équation différentielle y
cos t +2ysin t = 1+sin
2
t, vérifiantl ac ondition
initiale y(0) = 0.
Considérons l’intervalle I =
−
π
2
,
π
2
, sur lequel la fonctionc os t ne s’annule
pas.Sur I , l’équation devient:
y
+2ytan t =
1+sin
2
t
cos t
L’équation sans second membre y
+2ytan t = 0, admet pour solution générale :
y = C cos
2
t. Une solution évidente de l’équation complète est: y=sin t. D’où
la solution générale sur I :
y = sin t + C cos
2
t
La condition initiale y(0) = 0d étermine une solution unique sur I :
y = sin t
Cependant, en −
π
2
et en
π
2
, cette fonction se prolonge en une fonction continue
et dérivable, de dérivée nulle. Ainsi, toute fonction de la forme :
y = sin t + C k cos
2
t où C k = C
te
sur
−
π
2
+ kπ,
π
2
+ kπ
et C 0 = 0
est solution sur tout R et vérifie la condition initiale. L’unicité de la solution se
perd aux points singuliers t = ±
π
2
(Doc.2).
Pour s’entraîner:ex. 3et4
56