Équations différentielles linéaires
COURS
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On peuta ussi utiliser le principe de superposition :s i y 1 est une solution de
l’équation y
− a(t)y = b 1 (t)e ty 2 une solution de l’équation y
− a(t)y = b 1 (t),
alors y 1 + y 2 est solution de l’équation y
− a(t)y = b 1 (t)+b 2 (t).
Exemple :Résoudre l’équation différentielle : y
− ty = t
3
(1).
Remarquons que t
3
= 2t − (2t − t
3
).
L’équation y
− ty = 2t apour solution évidente : y 1 = −2.
L’équation y
− ty = 2t − t
3
apour solution évidente : y 2 = t
2
.
L’équation (1) adonc pour solution particulière : y = y 1 − y 2 = −2 − t
2
.
La solution générale estdonc :
y = −2 − t
2
+ C e
t 2
2
Pours’entraîner :ex. 2
1.4 • Méthode de la variation de la constante
Lorsqu’iln ’est pas possible de trouver une solution évidente, même par le principe de superposition, on peut chercher une solution particulière de l’équation
y
+ a(t)y = b(t)s ous la forme : y = C (t)e
−A(t)
, c’est-à-dire en remplaçant dans
l’expression de la solution générale de l’équationsans second membre la constante
C par une fonction C (t), que l’on supposera dérivable.
On adonc : y
(t) = C
(t)e
−A(t)
− C (t)a(t)e
−A(t)
.
En reportant dansl’équation différentielle, il reste : C
(t)e
−A(t)
= b(t), d’où :
C
(t) = b(t)e
A(t)
On peut donc trouverl af onction C par une recherched e
primitives.
Exemple :Résoudre l’équation différentielle :
y
− ty = te
t 2
2
(1)
La solution générale de l’équation sans second membre est :
y = C e
t 2
2 ;c herchons une solution de l’équation (1) sous la
forme: y =C(t)e
t 2
2 . En reportantdans l’équation différentielle,
il reste : C
(t) = t, d’où : C (t) =
t
2
2
.
Remarque :Ilest inutile d’écrire une constante d’intégration, puisqu’on cherche seulement une solution particulière;cette constante apparaîtra lorsqu’on ajoutera la solution
générale de l’équation sans second membre.
La solution générale de l’équation (1) estdonc :
y =
t
2
2
e
t 2
2 + C e
t 2
2
 Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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