COURS 3
Équations différentielles linéaires
où a et b sont deux fonctions continues àv aleurs réelles ou complexes de la
variable réelle t. Soit y 1 et y 2 deux solutions de l’équation (1). On peut
écrire :
y
1 + a(t) y 1 = b(t)
y
2 + a(t) y 2 = b(t)
En retranchant membre àmembre, on obtient :
y
1 − y
2 + a(t)(y 1 − y 2 ) = 0
La fonction y 1 − y 2 vérifie l’équation sans second membre :
y
+ a(t)y = 0
(2)
que nous avons déjà apprisàrésoudreauparagraphe précédent.
Réciproquement, si y 0 est une solution quelconque de (2) et y 1 une solution de
(1),onpeutécrire :
y
1 + a(t) y 1 = b(t)
y
0 + a(t) y 0 = 0
En ajoutant membre àmembre, on obtient :
y
1 + y
0 + a(t)(y 1 + y 0 ) = b(t)
c’est-à-dire que la fonction y 1 + y 0 vérifie l’équation (1).
On obtient donc toutes les solutions de l’équation (1) en ajoutant à y 1 une
solution quelconque de l’équation (2).Onpeut énoncer :
Théorème 1
La solution générale de l’équationdifférentielle linéaire du premier ordre :
y
+ a(t) y = b(t)
(1)
est la sommed ’une solution particulière de (1) et de la solution générale de
l’équation sans second membre associée :
y
+ a(t) y = 0
(2)
Remarque :Lastructure des solutions fait penser àcelle d’une droite D : l’ensemble
des points de De st obtenu àpartir d’un point particulier Ae najoutant un vecteur
quelconque de la droite vectorielle
− →
D .
Il reste àd éterminer une solution particulière de l’équation. On pourra souvent
reconnaître une solution évidente.
Exemple :Résoudre l’équation différentielle : y
− ty = 2t
(1).
L’équation sans second membre associée s’écrit : y
− ty = 0; sa solution générale
est y = C e
t 2
2 .
Une solution évidente de l’équation (1) est: y=−2.
La solution générale estdonc :
y = −2+Ce
t 2
2
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