Équations différentielles linéaires
COURS
3
1 Équations linéaires du premierordre
1.1 • L’exempledes fonctions exponentielles
Nous avons vu que pour tout a ∈ C, la fonction f de R dans C définie par
f (t) = e
at
est dérivable, et vérifie pour tout t ∈ R : f
(t) = ae
at
= af(t). On
dit que f est solution de l’équationdifférentielle y
− ay = 0.
Réciproquement, soit y une solutionquelconque de cette équation ;posons pour
t ∈ R : y(t) = z(t)e
at
. En dérivant, on obtient :
y
(t) = z
(t)e
at
+ az(t)e
at
, d’où y
(t) − ay(t) = z
(t)e
at
. La fonction y vérifie
l’équation différentielle si et seulementsi: z
(t)=0, c’est-à-dire z(t) = C
te
.
L’ensemble des solutions de l’équation différentielle y
− ay = 0e st donc l’ensemble des fonctions y de la forme : y(t) = C e
at
.
Une solution estcaractérisée par la constante C , c’est-à-dire y(0).
La fonction exponentielle t
→ e
at
est l’unique solution de l’équation différentielle y
− ay = 0q ui vérifie y(0) = 1.
1.2 • Équation linéaire du premier ordre
sans second membre
ATTENTION
On résisteraàl at entation d’écrire
y
y
= ··· , car cela conduirait àn e
chercher que des solutions y quin e
s’annulent pas.
Inspirons-nous de ce quiprécède pour résoudre l’équation différentielle :
y
+ a(t) y = 0
(1)
où a est une fonction continue àv aleurs réelles ou complexes de la variable
réelle t. Comme a est continue sur R, elle admet une primitive A. La fonction
f définie par f (t) = e
−A(t)
est dérivable, et vérifie pour tout t ∈ R :
f
(t) = −A
(t)e
−A(t)
= −a(t) f (t). f est donc solution de l’équation (1).
Réciproquement, soit y une solution quelconque de cette équation ;posons pour
t ∈ R : y(t) = z(t)e
−A(t)
. En dérivant, on obtient :
y
(t) = z
(t)e
−A(t)
− A
(t) z(t)e
−A(t)
, d’où y
(t)+a ( t)y( t) = z
( t)e
−A(t)
. La
fonction y vérifiel’équation différentielle si et seulement si : z
(t) = 0, c’est-àdire z(t) = C
te
.
L’ensemble des solutions de l’équation différentielle y
+ a(t)y = 0e st l’ensemble des fonctions y de la forme: y(t)=Ce
− A ( t)
, où A est une primitive
de a.
Remarque :Une équation de la forme a(t)y
+ b(t)y = 0 pourra être résolued e
cette façon sur un intervalle où la fonction an es’annule pas. Nous verrons plus loin
comment «recoller », lorsque c’est possible, deux solutions de part et d’autre d’un point
où a(t) = 0.
1.3 • Équation linéaire du premier ordre
avecsecond membre
Considéronsmaintenant l’équation différentielle :
y
+ a(t) y = b(t)
(1)
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
53
COURS
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1 Équations linéaires du premierordre
1.1 • L’exempledes fonctions exponentielles
Nous avons vu que pour tout a ∈ C, la fonction f de R dans C définie par
f (t) = e
at
est dérivable, et vérifie pour tout t ∈ R : f
(t) = ae
at
= af(t). On
dit que f est solution de l’équationdifférentielle y
− ay = 0.
Réciproquement, soit y une solutionquelconque de cette équation ;posons pour
t ∈ R : y(t) = z(t)e
at
. En dérivant, on obtient :
y
(t) = z
(t)e
at
+ az(t)e
at
, d’où y
(t) − ay(t) = z
(t)e
at
. La fonction y vérifie
l’équation différentielle si et seulementsi: z
(t)=0, c’est-à-dire z(t) = C
te
.
L’ensemble des solutions de l’équation différentielle y
− ay = 0e st donc l’ensemble des fonctions y de la forme : y(t) = C e
at
.
Une solution estcaractérisée par la constante C , c’est-à-dire y(0).
La fonction exponentielle t
→ e
at
est l’unique solution de l’équation différentielle y
− ay = 0q ui vérifie y(0) = 1.
1.2 • Équation linéaire du premier ordre
sans second membre
ATTENTION
On résisteraàl at entation d’écrire
y
y
= ··· , car cela conduirait àn e
chercher que des solutions y quin e
s’annulent pas.
Inspirons-nous de ce quiprécède pour résoudre l’équation différentielle :
y
+ a(t) y = 0
(1)
où a est une fonction continue àv aleurs réelles ou complexes de la variable
réelle t. Comme a est continue sur R, elle admet une primitive A. La fonction
f définie par f (t) = e
−A(t)
est dérivable, et vérifie pour tout t ∈ R :
f
(t) = −A
(t)e
−A(t)
= −a(t) f (t). f est donc solution de l’équation (1).
Réciproquement, soit y une solution quelconque de cette équation ;posons pour
t ∈ R : y(t) = z(t)e
−A(t)
. En dérivant, on obtient :
y
(t) = z
(t)e
−A(t)
− A
(t) z(t)e
−A(t)
, d’où y
(t)+a ( t)y( t) = z
( t)e
−A(t)
. La
fonction y vérifiel’équation différentielle si et seulement si : z
(t) = 0, c’est-àdire z(t) = C
te
.
L’ensemble des solutions de l’équation différentielle y
+ a(t)y = 0e st l’ensemble des fonctions y de la forme: y(t)=Ce
− A ( t)
, où A est une primitive
de a.
Remarque :Une équation de la forme a(t)y
+ b(t)y = 0 pourra être résolued e
cette façon sur un intervalle où la fonction an es’annule pas. Nous verrons plus loin
comment «recoller », lorsque c’est possible, deux solutions de part et d’autre d’un point
où a(t) = 0.
1.3 • Équation linéaire du premier ordre
avecsecond membre
Considéronsmaintenant l’équation différentielle :
y
+ a(t) y = b(t)
(1)
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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