3
Équations
différentielles
linéaires
OBJECTIFS
OBJECTIFS
• Étudierl es équations différentielleslinéaires du premier ordre.
• Donner un exemple de résolution approchée :l am éthode
d’Euler.
• Étudier les équations différentielles linéaires du second ordre à
coefficients constants et àsecond
membre du type polynômeexponentiel.
INTRODUCTION
D
etrès nombreuses applications des mathématiques conduisent àlarecherche d’une fonction
assujettie àu ne certaine relation avec ses dérivées
successives. C’est ce qu’on appelle une équation différentielle. L’immense progrès scientifique des XVII
e
et XVIII
e
siècles, en particulier en astronomie, repose sur la capacité de prévoir le comportement futur d’un système grâce àl ar ésolution d’équations
différentielles. De très nombreux noms de mathématiciens sont attachés àl at héorie desé quations différentielles :E uler, d’Alembert, Lagrange, Riccati,
Clairaut,B ernoulli, Legendre, Cauchy... Malheureusement, il n’existe pas de méthode systématique
pour résoudre exactement toutes les équations différentielles. Nous devrons nous contenter d’étudier
quelques types très simples, comme les équations linéaires. Par ailleurs il existe uneb ranche desm athématiques en plein essor, l’analyse numérique, qui
développe, àl’usage desphysiciens et des ingénieurs,
des algorithmes très performants de résolution approchée d’équations différentielles.
52
Équations
différentielles
linéaires
OBJECTIFS
OBJECTIFS
• Étudierl es équations différentielleslinéaires du premier ordre.
• Donner un exemple de résolution approchée :l am éthode
d’Euler.
• Étudier les équations différentielles linéaires du second ordre à
coefficients constants et àsecond
membre du type polynômeexponentiel.
INTRODUCTION
D
etrès nombreuses applications des mathématiques conduisent àlarecherche d’une fonction
assujettie àu ne certaine relation avec ses dérivées
successives. C’est ce qu’on appelle une équation différentielle. L’immense progrès scientifique des XVII
e
et XVIII
e
siècles, en particulier en astronomie, repose sur la capacité de prévoir le comportement futur d’un système grâce àl ar ésolution d’équations
différentielles. De très nombreux noms de mathématiciens sont attachés àl at héorie desé quations différentielles :E uler, d’Alembert, Lagrange, Riccati,
Clairaut,B ernoulli, Legendre, Cauchy... Malheureusement, il n’existe pas de méthode systématique
pour résoudre exactement toutes les équations différentielles. Nous devrons nous contenter d’étudier
quelques types très simples, comme les équations linéaires. Par ailleurs il existe uneb ranche desm athématiques en plein essor, l’analyse numérique, qui
développe, àl’usage desphysiciens et des ingénieurs,
des algorithmes très performants de résolution approchée d’équations différentielles.
52