Exercices
1 Vraioufaux ?
a) Pour tout réel x =
π
2
+ kπ :A rctan (tan x) = x
b) Pour tout réel x :t an(Arctan x) = x
c) Pour tout réel x ∈ [−1, 1] :A rccos x +Arcsin x =
π
2
d) La fonction Arcsin est continue et dérivable sur
[−1, 1].
e) La fonction Arctan est continue et dérivable sur R.
f) ln x est négligeable devant
1
x
au voisinage de 0.
g) ch x − sh x tend vers 0q uand x tend vers +∞.
h) La fonction cosinus hyperbolique est bijective.
i) ∀x ∈ R\{−1, 1}
1
2
ln
1+x
1−x
=
1
1−x 2
Exponentielles et logarithmes
2 Résoudre les équationssuivantes :
a)
x
√ x
=
√ x
x
b)
2
x
3 = 3
x
2
c)
log a x = log x a
d)
log 3 x − log 2 x = 1
e) 2
x
+2
x+1
+···+2
x+n
= 3
x
+3
x+1
+···+3
x+n
où n ∈ N
3 Démontrerque log 10 2n ’est pas rationnel.
Fonctions hyperboliques
4 Calculer
n
k=0
ch (a + kb)e t
n
k = 0
sh (a + kb).
5 Simplifier les expressions suivantes :
ch (ln(x +
x 2 − 1))s h(ln(x +
x 2 − 1))
ch (ln(x +
√
x 2 +1))
sh (ln(x +
√ x 2 +1))
6 Étudierl ad érivabilité des fonctions suivantes et calculer leurs dérivées :
a) f (x) = th x −
1
3
th
3
x
b) f (x) = Arcsin (th x)
c) f (x) = Arctan (sh x)
d) f (x) = Arctan (th x)
Fonctions circulaires réciproques
7 Étudierles variations des fonctions suivantes et tracer
leur courbe représentative :
a) f (x) = Arcsin
2
√ x
1+x
b) f (x) = th
x − 1
x +1
c) f (x) = (x − 1)
2
Arctan x d) f (x) =
1 − x 2 e
Arcsin x
8 Représenter graphiquement les fonctions f et g définies par :
f (x) = cos(Arccos x)e tg ( x ) = Arccos (cos x)
9 Calculer Arctan x +Arctan y en discutantsuivant les
signes desréels 1 − xy et x + y.
10 Simplifier les expressions :
cos(Arctan x);
sin(Arctan x); tan(2 Arctan x);
cos(4 Arctan x);
tan(Arcsin x); tan(Arccos x);
Arcsin
2x
1+x 2
.
11 Démontrer la formule de Machin :
π
4
= 4Arctan
1
5
− Arctan
1
239
12 Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes et calculer leursdérivées :
a) f (x) = Arcsin
1+x
1−x
b) f (x) =
1 − Arcsin x
1+Arcsin x
c) f (x) = Arctan
1
1+x 2
d) f (x) = Arctan
1 − sin x
1+sin x
13 1) Soit p ∈ N. Calculer Arctan (p +1)−Arctan (p)
2) Étudier la convergence et la limite de la suite (S n )d éfinie
par :
S n =
n
p=0
Arctan
1
p 2 + p +1
Exercice posé aux oraux des concours
14 (Petites Mines 2005)
Simplifier l’expression :
f (x) = cos(Arccos x − Arcsin x) − sin(Arccos x − Arcsin x)
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