Fonctions usuelles
Se souvenir de la définition de la dérivabilité d’unefonction en un point.
b) Pour t
= 0,
f (t) − f (0)
t
=
Arctan t − t
t 2
.
Utilisons encore (∗), pour t > 0:
−
t
3
3
Arctan t − t 0d ’où −
t
3
Arctan t − t
t 2
0
ce qui prouve,par le théorème d’encadrement, que lim
t→0 +
Arctan t − t
t 2
= 0
et, parparité lim
t→0
Arctan t − t
t 2
= 0: f est dérivable en 0et f
(0) = 0.
c) D’autre part, f est dérivables ur R
∗
commeq uotient de fonctions
dérivables et,pour t ∈ R
∗
, f
(t) =
1
t(1 + t 2 )
−
Arctan t
t 2 .
3) Calculons, pour t ∈ R
∗
,
t
0
u
2
(1 + u 2 ) 2 du àl ’aide d’une intégration
par parties :
1
2
t
0
u ·
2u
(1 + u 2 ) 2 du =
1
2
−u ·
1
(1 + u 2 )
t
0
+
1
2
t
0
1
(1 + u 2 )
du
= −
t
2(1 + t 2 )
+
1
2
Arctan t
= −
1
2
t
2
f
(t)
Quelest le signe de
t
0
u
2
(1 + u 2 ) 2 d u ?
f
(t)e st donc du signe opposé àcelui de t : f est décroissantesur R + ,
croissante sur R − .
Préciser les limitesde f en ±∞.
4) De plus lim
t→+∞
Arctan t =
π
2
, d’où :l im
t→+∞
f (t) = 0.
Nous pouvons alors donner l’allure du graphe de f :
y
x
x’
1
1
0
−1
Doc. 24
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