Fonctions usuelles
Exercice résolu
D’APRÈSENSTIM (ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES)
1 Soitgl’application de R dans R définie par:
g(t)=Arctan t − t +
t
3
3
a) Vérifier que ge st impaire, dérivable sur R, et calculer g
(t), pour t ∈ R.
b) Montrer que: ∀t∈R, 0g
(t)t
2
.
c) En déduire : ∀t ∈ R + , t −
t
3
3
Arctan t t.
2 Soit fl ’application de R dans R définie par:
f(0) = 1 et ∀t
= 0, f (t) =
Arctan t
t
a) Montrerque fe st continue sur R et paire.
b) Montrer que fe st dérivable en 0etdonner f
(0).
c) Justifierque fe st dérivable sur R et calculer f
(t), pour t ∈ R
∗
.
3 Àl’aide d’une intégration parparties, montrer que :
∀t ∈ R
∗
,
t
0
u
2
(1 + u 2 ) 2 du = −
1
2
t
2
f
(t)
En déduire le sens de variation de f .
4 Tracer la courbe représentative de fd ans un repère orthonormé.
Conseils
Solution
1) a) g estdéfinie sur R, et pour tout t ∈ R,
g(−t) = Arctan (−t)+t−
t
3
3
=−g(t)
g est impaire ;e lle est dérivable sur R comme somme de fonctions
dérivables et pour t ∈ R, g
(t) =
1
1+t 2 −1+t
2
=
t
4
1+t 2 .
b) On en déduit immédiatement : ∀t ∈ R, 0 g
(t) t
2
.
Intégrer l’inégalité précédente.
c) Pour t ∈ R + , on obtientalors, en intégrant sur [0, t], 0 g(t)
t
3
3
,
c’est-à-dire: t−
t
3
3
Arctan t t (∗).
2) a) f est définie et continue sur R
∗
comme quotient de fonctions
continues,elle est paire comme quotient de fonctions impaires.
Calculer lim
t→0 +
f (t).
D’après( ∗ ) ,nous pouvons écrire pour t > 0: 1−
t
2
3
f(t)1( ∗ ) ,
ce qui prouve, par le théorème d’encadrement, que lim
t→0 +
f (t) = 1, f est
continue àdroite en 0, par parité, elle est continue àgauche en 0.
f est donc continue sur R.
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