Solutions
SOLUTIONS
30
3) I (t) = M (t)+R(t)
N(t)
⎧
⎨
⎩
xI(t)=cos t(3 − 2cos
2 t)
yI (t) = sin t(3 − 2sin
2 t)
4)
N() t
y
x
1
-1
-1
1
It ()
Γ
Γ’
Mt ()
Tt ()
5) xI
t +
π
4
=
√ 2(cos
3 t − sin
3 t)
yI
t +
π
4
=
√ 2(cos
3 t +sin
3 t)
⎛
⎝
xI (t +
π
4
)
yI (t +
π
4
)
⎞
⎠ = 2
⎛
⎝
cos
π
4
− sin
π
4
sin
π
4
cos
π
4
⎞
⎠
x(t)
y(t)
Γ
estl’image de Γ par la similitude directe de centre O,derapport
2etd’angle
π
4
.
9 R =
d s
d ϕ
= 1+s
2 ,d’où
ds
1+s 2 =dϕ ;A rctan s = ϕ−ϕ0 .
Quitte àeffectuer une rotation du repère, on peut choisir ϕ0 = 0.
T = f
(s) = cos(Arctan s) i +sin(Arctan s) j
=
1
√ 1+s 2
i+
s
√ 1+s 2
j.
D’où : f (s) = (Argsh s + x0) i +(
√ 1+s 2 +y0) j.
Quitte àe ffectuer une translation du repère, on peut choisir
x0 = y0 = 0.
On obtient donc : x(s) = Argsh s et y(s) =
√ 1+s 2 ,s oit
y =
√ 1+sh 2 x=ch x.
Il s’agit de la courbe représentative de la fonction cosinus hyperbolique, àundéplacement quelconque près.
10 Utilisons le paramétrage de l’ellipse :
x(t) = a cos t , y(t) = b sin t,
on obtientalors :
•
−
→
f
( t ) = ( − a sin t, b cos t)
•
− →
f
(t) = (−a cos t, −b sin t)
•
−
→
f
( t ) =
√
a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t
•
−−→
T ( t ) =
−
a sin t
√
a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t
,
b cos t
√ a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t
•
−−→
N ( t ) =
−
b cos t
√
a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t
, −
a sin t
√
a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t
• c(t) =
det
−
→
f
( t ) ,
− →
f
(t)
−
→
f
( t ) 3
=
ab
√ a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t
3
Alors
−→
OI (t) =
−−→
OM (t)+R(t)
−−→
N ( t )apour coordonnées :
xI (t) =
a
2 − b
2
b
cos
3 t , yI (t) =
b
2 − a
2
a
sin
3 t
La développée d’uneellipse est donc déduite par affinité orthogonale d’une astroïde.
(remarque :s ia=b ,n ous obtenons :l ad éveloppée d’un cercle
est réduite au centre de ce cercle... rassurant).
11 Soit P d’équation y
2 = 2px,que nous pouvons considérer
comme la courbe paramétrée définie par: f(y)=
y
2
2p
i+y j.
D’où f
(y) =
y
p
i + j et f
(y) =
1
p
i.
Le rayon de courbure au point M (
y
2
2p
, y)vaut alors :
R(y) =
f
(y)
3
det( f (y), f (y))
=
(y
2 + p
2 )
3
2
p 2
La normale en M
y
2
2p
, y
à P apour équation :
X −
y
2
2p
y
2
+( Y −y) = 0e tl ad irectrice de la parabole :
x = −
p
2
,leur intersection estdonc le point N :
N =
−
p
2
,
3y
2
+
y
3
2p 2
,d’où :
−−→
NM =
p(y
2 + p
2 )
2p 2 ,
y(y
2 + p
2 )
2p 2
et :
−−→
NM =
(y
2 + p
2 )
3
2
2p 2
=
1
2
R(y)
12 La courbe au ne paramétrisation telle que y(t) = tx(t); la
boucle est«fermée »par un point double M (t) = M (t
)qui vérifie donc nécessairement x(t) = x(t
) = 0, soit t = −t
=
1
√ 3
.
De plus ,l ’arc présente un symétrie par rapport àl ’axe (x
x), la
longueur cherchée est donc :
L = 2
1
√ 3
0
f
(t) dt
= 2
1
√ 3
0
(9t
2 +1)dt
=
4
√ 3
3
13 Notons f (t) = x(t) i + y(t) j, f est 2π-périodique, ce qui
prouve que la courbe est entièrement décrite pour t variantdans
un intervalle d’amplitude 2π,d ep lus l’étude des symétries nous
permet de limiter l’étude à t ∈
0,
π
2
et d’en déduire toute la
courbe par symétries successives parrapport à(x
x)et(y
y).
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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3) I (t) = M (t)+R(t)
N(t)
⎧
⎨
⎩
xI(t)=cos t(3 − 2cos
2 t)
yI (t) = sin t(3 − 2sin
2 t)
4)
N() t
y
x
1
-1
-1
1
It ()
Γ
Γ’
Mt ()
Tt ()
5) xI
t +
π
4
=
√ 2(cos
3 t − sin
3 t)
yI
t +
π
4
=
√ 2(cos
3 t +sin
3 t)
⎛
⎝
xI (t +
π
4
)
yI (t +
π
4
)
⎞
⎠ = 2
⎛
⎝
cos
π
4
− sin
π
4
sin
π
4
cos
π
4
⎞
⎠
x(t)
y(t)
Γ
estl’image de Γ par la similitude directe de centre O,derapport
2etd’angle
π
4
.
9 R =
d s
d ϕ
= 1+s
2 ,d’où
ds
1+s 2 =dϕ ;A rctan s = ϕ−ϕ0 .
Quitte àeffectuer une rotation du repère, on peut choisir ϕ0 = 0.
T = f
(s) = cos(Arctan s) i +sin(Arctan s) j
=
1
√ 1+s 2
i+
s
√ 1+s 2
j.
D’où : f (s) = (Argsh s + x0) i +(
√ 1+s 2 +y0) j.
Quitte àe ffectuer une translation du repère, on peut choisir
x0 = y0 = 0.
On obtient donc : x(s) = Argsh s et y(s) =
√ 1+s 2 ,s oit
y =
√ 1+sh 2 x=ch x.
Il s’agit de la courbe représentative de la fonction cosinus hyperbolique, àundéplacement quelconque près.
10 Utilisons le paramétrage de l’ellipse :
x(t) = a cos t , y(t) = b sin t,
on obtientalors :
•
−
→
f
( t ) = ( − a sin t, b cos t)
•
− →
f
(t) = (−a cos t, −b sin t)
•
−
→
f
( t ) =
√
a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t
•
−−→
T ( t ) =
−
a sin t
√
a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t
,
b cos t
√ a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t
•
−−→
N ( t ) =
−
b cos t
√
a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t
, −
a sin t
√
a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t
• c(t) =
det
−
→
f
( t ) ,
− →
f
(t)
−
→
f
( t ) 3
=
ab
√ a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t
3
Alors
−→
OI (t) =
−−→
OM (t)+R(t)
−−→
N ( t )apour coordonnées :
xI (t) =
a
2 − b
2
b
cos
3 t , yI (t) =
b
2 − a
2
a
sin
3 t
La développée d’uneellipse est donc déduite par affinité orthogonale d’une astroïde.
(remarque :s ia=b ,n ous obtenons :l ad éveloppée d’un cercle
est réduite au centre de ce cercle... rassurant).
11 Soit P d’équation y
2 = 2px,que nous pouvons considérer
comme la courbe paramétrée définie par: f(y)=
y
2
2p
i+y j.
D’où f
(y) =
y
p
i + j et f
(y) =
1
p
i.
Le rayon de courbure au point M (
y
2
2p
, y)vaut alors :
R(y) =
f
(y)
3
det( f (y), f (y))
=
(y
2 + p
2 )
3
2
p 2
La normale en M
y
2
2p
, y
à P apour équation :
X −
y
2
2p
y
2
+( Y −y) = 0e tl ad irectrice de la parabole :
x = −
p
2
,leur intersection estdonc le point N :
N =
−
p
2
,
3y
2
+
y
3
2p 2
,d’où :
−−→
NM =
p(y
2 + p
2 )
2p 2 ,
y(y
2 + p
2 )
2p 2
et :
−−→
NM =
(y
2 + p
2 )
3
2
2p 2
=
1
2
R(y)
12 La courbe au ne paramétrisation telle que y(t) = tx(t); la
boucle est«fermée »par un point double M (t) = M (t
)qui vérifie donc nécessairement x(t) = x(t
) = 0, soit t = −t
=
1
√ 3
.
De plus ,l ’arc présente un symétrie par rapport àl ’axe (x
x), la
longueur cherchée est donc :
L = 2
1
√ 3
0
f
(t) dt
= 2
1
√ 3
0
(9t
2 +1)dt
=
4
√ 3
3
13 Notons f (t) = x(t) i + y(t) j, f est 2π-périodique, ce qui
prouve que la courbe est entièrement décrite pour t variantdans
un intervalle d’amplitude 2π,d ep lus l’étude des symétries nous
permet de limiter l’étude à t ∈
0,
π
2
et d’en déduire toute la
courbe par symétries successives parrapport à(x
x)et(y
y).
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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