SOLUTIONS
30
Solutions
Chapitre 30
1 1) a) Faux, c’est une condition nécessaire mais non
suffisante. b) Vrai. c) Vrai. d) Faux, il peut être négatif. e) Faux, lorsque le mouvement n’est pasu niforme.
f) Vrai.
2 f
(t) = 6sin t(cos2t i+sin 2t j )
⇒⇒ f
(t) = 6| sin t|
L = 6
2π
0
| sin t| d t = 12
π
0
sin t d t = 24
3 Paramétrons la parabole : x(t) =
t
2
2p
y(t) = t.
y
p
– p
x
F
O
D
f
(t) =
1
p
t 2 + p 2
L =
2
p
p
0
t 2 + p 2 d t = p
√ 2+ln(
√ 2+1)
.
4 f
(θ)=−2sin θ cos θ u(θ)+cos
2 θ v(θ).
f
(θ) = | cos θ|
√ 1+3sin 2 θ
L = 2
π
2
−
π
2
√ 1+3sin 2 θ cos θ d θ
= 2
1
−1
√ 1+3u 2 du=4+
2
√ 3
3
ln(
√ 3+2)
5
-1
0
1
y
x
-2
-1
1
2
On obtientdans les deux cas l’intégrale :
L = a
2π
0
√ 1+3sin 2 t d t .
6 La courbe passe par O pour θ =
π
2
,donc avec une tangente
verticale.
La formule générale donne pour la courbure au point M (θ):
c=
4(2 sin
2 θ +1)
(8 sin 2 θ +1)
3
2 cos 2 θ
y'
0
y
0,5
1 x
La courbure n’est pasd éfinie au point O,q ui est stationnaire.
La courbure tend vers +∞ quand θ tendv ers
π
2
.A insi, un point
«d’allure ordinaire »peut avoir une courbure «infinie ».
7 tan ϕ = tan t,d’où ϕ = t + kπ.Sur un arc régulier, k est
constant,donc
d ϕ
d t
= 1.
c =
d ϕ
d s
=
d ϕ
d t
/
d s
d t
=
sin t
| cos2t|
.
8 1) f
(t) = 3sin t cos t(− cos t i +sin t j )
L = 24
π
4
0
sin t cos t d t = 6
2) R(t) =
1
d ϕ
d s
= −
d s
d t
= −3| sin t cos t|
592