Solutions
SOLUTIONS
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b) I2 =
1
−1
(1 + y)dy
1+y 2 +
− 1
1
(x−1) d x
x 2 +1
+
− 1
1
(−1+y)dy
1+y 2
+
1
− 1
(x+1)dx
x 2 +1
=4
1
− 1
du
1+u 2 =2π.
Ces intégrales curvilignes surd es courbes fermées ne sont pas
nulles, bien que le champ de vecteurs correspondant possède une
matricejacobienne symétrique. Cela estdûaufait que le domaine
R
2 \{(0, 0)} n’est pasétoilé. Elles ont cependant la même valeur,
car le champ de vecteurs est un champ de gradient dans le domaine U = R
2 \{(x, 0), x 0} qui, lui, est étoilé (par exemple,
par rapport au point (1, 0)). La valeur commune est la différence
de potentiel de part et d’autre de l’axe Ox au voisinagedupoint
B(−1, 0).
8 1) I =
1
0
√
1−x 2
0
(x + y)dy
dx =
2
3
.
2) En coordonnées polaires :
I =
[0,1]×[0,
π
2
]
ρ(cos θ +sin θ)ρ d ρ d θ
=
1
0
ρ
2 d ρ
π
2
0
(cos θ +sin θ)dθ =
2
3
.
3) Choisissons le champ de vecteurs P = −xy , Q = xy , qui
vérifie :
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
= x + y.
I =
γ
−xy d x + xy d y
=
π
2
0
cos t sin t (cos t +sin t)dt=
2
3
9 1) I =
a
0
b
a
√
a 2 −x 2
0
xy d y
d x =
a
2 b
2
8
2) I =
[0,1]×[0,
π
2
]
(aρ cos θ)(bρ sin θ)abρ d ρ d θ
= a
2 b
2
1
0
ρ
3 d ρ
π
2
0
sin θ cos θ d θ =
a
2 b
2
8
.
3) I =
γ
x
2 y
2
d y =
a
2 b
2
2
π
2
0
cos
3 t sin t d t =
a
2 b
2
8
.
10 Posons x = r cos θ, y = r sin θ.L ’équation de la courbe
devient:
r
3 cos θ = ar
2 (cos
2 θ − sin
2 θ)
Soit:r=0, ou pour θ
=
π
2
+ kπ : r = a
cos2θ
cos θ
.
La courbe C est doncentièrement définie parl’équation polaire :
r(θ) = a
cos 2θ
cos θ
On remarque que pour tout θ =
π
2
+ kπ :
• r(θ + π) = −r(θ):l’arc estpériodique de période π ;
• r(−θ) = r(θ):la courbe est symétrique parr apport àl ’axe
(Ox).
Étudions le signeder(θ)sur l’intervalle [0,
π
2
[:
0
π
4
π
2
r a +0−− ∞
Étudions la branche infinie pour θ →
π
2
:
r(θ)sin
θ −
π
2
= −r(θ)cos θ = −a cos 2θ,
d’où :
lim
θ→
π
2
r(θ)sin
θ −
π
2
= a
La courbe possèded onc une asymptote d’équation Y = a dans
le repère (O,, u
π
2
,, v
π
2
,c ’est-à-dire x = −a dansl er epère
initial.
0
-a
a
Aire de la boucle :
A =
1
2
π
4
−
π
4
r(θ)
2 dθ = a
2
π
4
0
cos
2 2θ
cos 2 θ
dθ
= a
2
π
4
0
2cos 2θ − 2+
1
cos 2 θ
dθ
= a
2
sin2θ−2θ+tan θ
π
4
0
= 2 −
π
2
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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