SOLUTIONS
29
Solutions
20 Par linéarité, il suffit de démontrer la propriété pour les
polynômes F (X ) = X
n pour tout n ∈ N.Onaalors :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
P(x, y) = Re ((x + iy)
n ) =
E( n
2
)
k=0
n
2k
x
n−2k (−1)
k y
2k
Q(x, y) = Re ((x + iy)
n ) =
E(
n−1
2
)
k=0
n
2k+1
x
n−2k−1 (−1)
k y
2k+1
d’où :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂P
∂x
(x, y) =
E( n
2
)
k=0
n
2k
(n − 2k)x
n−2k−1 (−1)
k y
2k
∂Q
∂y
(x, y) =
E(
n−1
2
)
k=0
n
2k+1
x
n−2k−1 (−1)
k (2k +1)y
2 k
Comme (n − 2k)
n
2k
= (2k +1)
n
2k+1
,
∂P
∂x
(x, y) =
∂Q
∂y
(x, y).
De même :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂P
∂y
(x, y) =
E( n
2
)
k=0
n
2k
x
n−2k (−1)
k 2ky
2k−1
∂Q
∂x
(x, y) =
E(
n−1
2
)
k=0
n
2k+1
(n − 2k − 1)x
n−2k−2 (−1)
k y
2k+1
=
E( n+1
2
)
k=1
n
2k−1
(n − 2k +1)x
n − 2 k (−1)
k+1 y
2k−1
Comme 2k
n
2k
= (n − 2k +1)
n
2 k − 1
,
∂P
∂y
(x,y)=−
∂Q
∂x
(x,y).
Chapitre 29
1 a) Faux. b) Faux, même la fonction1n’est past oujours intégrable... (cf. a)). c) Vrai. d) Faux, une condition suffisante estq ue le champ soit défini sur une partie étoilée de R
2 .
e) Vrai. f) Vrai.
2 a) I =
1
0
1−x
0
xy dy
dx =
1
24
.
b) I = 4
a
0
b
a
√
a 2 −x 2
0
xy dy
dx =
a
2 b
2
2
.
c) I =
1
0
2−y
y
(x + y)dx
dy =
4
3
.
d) I =
2
1
3−x
1
d y
(x + y) 2
d x = ln
3
2
−
1
3
.
3 V =
U
(1 − x
2 − 2y
2 )dxdy
où U = { (x, y) ∈ R
2 , x
2 +2y
2 1}
V =4
√ 2
2
0
√
1 − 2 y 2
0
(1 − x
2 − 2y
2 )dx
dy=
π
√ 2
4
.
4 a) En coordonnées polaires : x = ρ cos θ , y = ρ sin θ
I =
U
ρ dρ dθ
ρ 2 +1
=
2 π
0
dθ
1
0
ρdρ
ρ 2 +1
=πln 2
b) On peut poser x = aρ cos θ , y = bρ sin θ, avec ρ ∈ [0, 1]
et θ ∈ [0, 2π] .
Le déterminant jacobien correspondant est Det J = abρ.
I =
[0,1]×[0,2π]
1
ρ
abρ d ρ d θ = 2π ab
5 1) Surlesegment [AB]: I1=
1
− 1
2x
2 dx=
4
3
2) En passant par D(1, −1) :
I2 =
1
−1
(x
2 +1)dx+
1
−1
(y
2 +1)dy =
16
3
.
3) En passant par E(−1, 1) :
I3 =
1
−1
(y
2 − 1) d y +
1
−1
(x
2 − 1) d x = −
8
3
.
L’intégrale dépend de l’arc et pas seulement de ses extrémités.
6 a) Le champ de vecteurs
V = (x
2 − y
2 , −2xy)au ne
matrice jacobienne symétrique sur R
2
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
= −2y
;
c’estdonc un champ de gradient. Son intégrale curviligne sur un
arc C ne dépend que des extrémités A et B de cet arc.
V =
−−→
Grad
x
3
3
− xy
2
;
d’où :
I =
x
3
B − x
3
A
3
− (xBy
2
B − xAy
2
A ).
b) Idem surledemi-plan y > 0, qui estétoilé par rapport àchacun
de ses points.
V =
−−→
Grad
x
2
y
+ y
;
d’où :
I =
x
2
B
yB
−
x
2
A
yA
+ yB − yA.
7 a) I1 =
2π
0
(cos t − sin t)(− sin t d t)
+(cos t +sin t)(cos t d t)
= 2π
590