Solutions
SOLUTIONS
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En (1, 1) :
f (1 + h, 1+k)−f(1, 1)
= 3
h −
k
2
2
+
3
4
k
2
+ o(h
2 )+o(k
2 ).
Cette expression est positive au voisinage de (h, k) = (0, 0). f
présente un minimum local en (1, 1)
c) Le gradient de f s’annule en (0, 0). f (x, x) = (2x)
3 , qui n’a
pas un signe constant au voisinage de 0;pas d’extremum local.
15 1) Pour tout (x, y)
= (0, 0) :
∂f
∂x
(x, y) =
−2xy
4
(x 2 + y 2 ) 2 ,
∂f
∂y
(x, y) =
2y
3 (2x
2 + y
2 )
(x 2 + y 2 ) 2
et
∂f
∂x
(0, 0) = 0
∂f
∂y
(0, 0) = 0.
Les fonctions
∂f
∂x
et
∂f
∂x
sont continues sur R
2 .
2)
∂
2 f
∂y∂x
(0, 0) = lim
y→0
∂f
∂x
(0, y) − 0
y
= 0
et
∂
2 f
∂x∂y
(0, 0) = lim
x→0
∂f
∂y
(x, 0) − 0
x
= 0.
3) Pour (x, y) = (0, 0) :
∂
2 f
∂y∂x
(x, y) =
−8x
3 y
3
(x 2 + y 2 ) 3 .
Cette fonction n’est pascontinue en (0, 0), car
∂
2 f
∂y∂x
(x, x) = −1 = 0.
(Le théorème de Schwarz n’admet pasderéciproque...)
16 Après un calcul long et pénible (mais pasdifficile), on obtient :
Δf =
∂
2 F
∂ρ 2 +
1
ρ 2
∂
2 F
∂θ 2 +
1
ρ
∂F
∂ρ
.
Une fonction harmonique isotrope estune fonction ϕ(ρ)vérifiant
l’équation différentielle ϕ
(ρ)+
ϕ
(ρ)
ρ
= 0,dont les solutions
sont de la forme : ϕ(ρ) = a ln |ρ| + b.
17 On obtient :
∂
2 F
∂u∂v
=
1
4
∂
2 f
∂x 2 −
∂
2 f
∂y 2
= 0.
D’où :
F (u, v) = g(u)+h(v)e tf ( x , y ) = g ( x + y )+h(x−y).
18 En tout point(x,y) = (0, 0), f admet des dérivées partielles :
∂f
∂x
(x, y) =
2xy
4
(x 2 + y 2 ) 2
∂f
∂y
(x, y) =
2yx
4
(x 2 + y 2 ) 2
Au point (0, 0), cesdérivées partielles sont définies par:
∂f
∂x
(0, 0) = lim
h→0
f (h, 0) − f (0, 0)
h
= 0
∂f
∂y
(0, 0) = lim
k→0
f (0, k) − f (0, 0)
k
= 0
Les dérivées partielles
∂f
∂x
et
∂f
∂y
sontc ontinues sur R
2 \{(0, 0)},
comme composées de fonctions continues. Elles sont également
continuesen(0,0) car :
∀(r, θ) ∈ R+×R
∂f
∂x
(r cos θ, r sin θ) −
∂f
∂x
(0, 0)
= 2r| cos θ sin
4 θ| 2r
∂f
∂y
(r cos θ, r sin θ) −
∂f
∂y
(0, 0)
= 2r| sin θ cos
4 θ| 2r
Ainsi, f est bien de classe C
1 sur R
2 .
19 f admetdes dérivées partielles en (0, 0) :
∂f
∂x
(0, 0) = lim
h→0
f (h, 0) − f (0, 0)
h
= 0
∂f
∂y
(0, 0) = lim
k→0
f (0, k) − f (0, 0)
k
= 0
Si f est de classe C
1 en (0, 0), alors elle admet en ce point une
dérivée nulle suivant n’importe quel vecteur. Or, pour u = (1, 1) :
f (t, t) − f (0, 0)
t
tend vers
1
2
si t tend vers 0 + et vers −
1
2
si t tend
vers 0
− : f n’admetpas de dérivée suivant le vecteur (1, 1), donc
f n’estpas de classe C
1 .
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