SOLUTIONS
28
Solutions
8 a) Si (x, y) = (0, 0) :
∂f
∂x
(x, y) =
2xy
3
(x 2 + y 2 ) 2 ;
∂f
∂x
(0, 0) = 0.
La fonction
∂f
∂x
n’est pascontinue en (0, 0), car
∂f
∂x
(x, x) =
1
2
.
b) Si (x, y)
= (0, 0) :
∂f
∂x
(x, y) =
2xy
4
(x 2 + y 2 ) 2 ;
∂f
∂y
(x, y) =
2x
4 y
(x 2 + y 2 ) 2 .
Ces deux fonctions sont continues en (0, 0) : f est de classe C
1 et
−−→
Grad f (0, 0) = 0.
c) Si (x, y) = (0, 0) :
∂f
∂x
(x, y) =
y
3
(x 2 + y 2 )
3
2
;
∂f
∂x
(0, 0) = 0.
La fonction
∂f
∂x
n’est pasc ontinue en (0, 0), car
lim
y→0 +
∂f
∂x
(0, y) = 1.
9 a) J =
yx
2 x 2 y
.
b) J =
1
x 2 + y 2
−yx
y − x
.
10 f (x, y) =
R
2 x
x 2 + y 2 ,
R
2 y
x 2 + y 2
.
f est de classe C
1 en tout point M distinct de O et sa matrice
jacobienne est :
J =
R
2
(x 2 + y 2 ) 2
−x
2 + y
2
−2xy
−2xy
x
2 − y
2
En posant x = r cos θ y = r sin θ :
J = −
R
2
r 2
cos 2θ
sin2θ
sin 2θ − cos2θ
La différentielle de f en M est la composée de l’homothétie de
rapport
R
2
OM 2 et de la réflexion d’axe orthogonal à(OM ).
11 Posons f (x, y) = F (u, v), avec u = x + y et v = x − y.
On adonc : ∂f
∂x
∂f
∂y
=
∂F
∂u
∂F
∂v
11
1 − 1
D’où :
∂f
∂x
=
∂F
∂u
+
∂F
∂v
et
∂f
∂y
=
∂F
∂u
−
∂F
∂v
.
On adonc :
∂f
∂x
−
∂f
∂y
= 2
∂F
∂v
= a.
On en déduit :
F (u, v) =
a
2
v + g(u)e tf ( x , y ) =
a
2
( x − y )+g(x+y).
12 Posons f (x, y) = F (ρ, θ), avec x = ρ cos θ et y = ρ sin θ.
Avec la même méthode quedans l’exercice précédent, on obtient,
pour tout point(x,y) =(0, 0) :
x
∂f
∂y
− y
∂f
∂x
=
∂F
∂θ
.
Sur R
2 \{(0, 0)}, l’équation
∂F
∂θ
= kF apour solutions :
F (ρ, θ) = λ(ρ)e
kθ .
Cette fonction n’est prolongeable parcontinuité à R
2 quesik =0
(F(ρ,θ)nedépend alors que de ρ), ou si la fonction λ est nulle (F
est alors également nulle).
13 Dérivons la relation donnée parrapport à λ :
x
∂f
∂x
(λx, λy)+y
∂f
∂y
(λx,λy)=αλ
α−1 f (x, y).
En multipliant par λ :
λx
∂f
∂x
(λx, λy)+λy
∂f
∂y
(λx,λy)
=αλ
α f (x, y) = αf (λx, λy).
En remplaçant λx par x et λy par y :
x
∂f
∂x
(x, y)+y
∂f
∂y
(x,y)=αf(x,y).
14 a) Le gradient de f s’annule en (0, 0) et
2
3
, 0
.
En (0, 0) :
f (x, y) = x
2 (1 − x)+y
2 0
au voisinage de (0, 0) (il suffit que x 1).
f présente un minimumlocal en (0, 0).
En
2
3
, 0
:
f
2
3
, y
− f
2
3
, 0
= y
2 0
et
f
2
3
+ h, 0
− f
2
3
, 0
= −h
2 (1 + h)
négatif pour h −1.
Pas d’extremum local en
2
3
, 0
.
b) Le gradient de f s’annule en (0, 0) et (1, 1).
En (0, 0) : f (x, 0) = x
3 , qui n’a pas un signe constant ;p as
d’extremum local.
588